考虑井阻与涂抹的非饱和土竖井地基固结分析

秦爱芳, 许薇芳, 江良华

(上海大学土木工程系, 上海 200444)

在高速公路和高速铁路路基的设计和施工中, 通常采用堆载预压及竖井加堆载预压等方法进行地基处理, 而处理后的地基以固结沉降变形为主.部分压实后的路基填土的饱和度为65%∼87%, 其固结特性与饱和土明显不同, 利用饱和土固结理论进行分析与工程实测值产生较大偏差[1], 因此, 研究非饱和土竖井地基的固结特性是非常必要的.20 世纪40 年代初,Carrillo[2]为分析竖井地基的固结特性, 采用轴对称模型将竖井地基模型进行了简化, 提出了著名的Carrillo 定理.Barron[3]发现在竖井地基固结过程中, 靠近竖井的土体因固结较快产生了较大沉降, 因而使得作用荷载的材料在该部分产生拱作用, 如果拱作用足够明显, 将使得地面变形更接近于等应变情况.因此, Barron 在Terzaghi[4]提出的固结理论基础上建立了竖井地基等应变固结理论, 并通过与自由应变固结解的比较, 证明了等应变假设的可靠性.Yoshikuni等[5]进一步完善了Barron 固结理论, 提出自由应变假设下考虑井阻与涂抹的竖井地基解析解.在国内, 谢康和等[6]建立了考虑井阻与涂抹的竖井地基等应变解析理论.陈国红等[7]基于等应变假设, 考虑涂抹区土体水平渗透系数呈不同变化模式, 得到饱和土竖井地基固结解.张驿等[8]基于连续排水边界条件, 得到了考虑涂抹及井阻效应的饱和土轴对称竖井地基等应变固结解析解, 饱和土竖井地基固结理论被不断完善.

非饱和土竖井地基固结有关理论是基于Fredlund 等[9]提出的一维固结理论而发展的.秦爱芳等[10]采用Laplace 变换及Cayley-Hamilton 定理得到了非饱和土一维固结半解析解;周万欢等[11]采用差分积分法推导出复杂边界下的一维固结解;Wang 等[12]针对不同的边界条件对非饱和土二维固结做了进一步完善.对于非饱和土竖井地基固结, Conte[13]利用Hankel 变换研究了非饱和土中的轴对称固结问题;Qin等[14]采用Laplace 变换并引入Bessel 方程, 得到了自由应变假设下理想井固结的半解析解;Ho 等[15-16]变换得到了非饱和土轴对称固结解析解及考虑涂抹作用的非饱和土竖井地基固结的解析解;Zhou 等[17]研究了等应变假设下考虑井阻的非饱和土竖井地基固结解析解.

然而, 目前还未见同时考虑井阻与涂抹的非饱和土竖井地基固结相关研究.本工作在现有理论基础上, 首先引入变量Φ和Laplace 变换, 将非饱和土竖井地基固结控制方程组转化, 同时考虑井阻与涂抹作用, 采用Crump 方法编程实现Laplace 逆变换, 得到了地基内任一深度的平均超孔隙气压力、平均超孔隙水压力及整个深度范围内的平均固结度;然后, 采用算例验证了所得解的可靠性, 并分析了井阻因子G、涂抹系数α及涂抹区半径比S对非饱和土竖井地基固结的影响;最后, 对比分析了非饱和土竖井地基4 种假设情况下的固结度预测.

1 半解析解

1.1 基本假设

基于Fredlund 等[9]和Ho 等[15]的有关假设, 本工作假设如下: ①非饱和土土层是均质的;②液相与土颗粒在加载过程中不可压缩;③固结过程中发生的应变为小应变;④气相、液相渗流分别符合Darcy 定律与Fick 定律, 二者渗流连续并独立;⑤固结过程中气相与液相渗透系数、体积变化系数均假设为常数(参数在非饱和土固结过程中为应力状态的函数, 通常具有非线性性质, 但在非饱和土性状的初步研究中, 可以认为这些参数在小应变及瞬时荷载作用过程中是恒定的, 且容易得到非饱和土固结方程的解).

1.2 计算模型

单层完全打穿非饱和土竖井地基计算模型如图1 所示.图1 中: 竖井地基厚度为H;未扰动区气相、液相在水平方向渗透系数为ka、kw;涂抹区气相、液相在水平方向渗透系数为kas、kws;竖井内的气相、液相在竖直方向渗透系数为kaw、kww;竖井半径为rw, 涂抹区半径为rs, 影响区半径为re;涂抹区范围为rw≤r≤rs, 未扰动区范围为rs≤r≤re;在竖井地基的顶面与底面以及影响区边界(r=re处)均为完全不透水不透气;竖井地基表面所受瞬时均布荷载为q;r、z为径向和竖向坐标.

图1 非饱和土竖井地基计算模型Fig.1 Consolidation modeling of vertical drain foundations in unsaturated soils

1.3 控制方程

根据基本假设以及文献[17]可知, 当仅考虑径向渗流时, 瞬时均布荷载下考虑涂抹的竖井地基等应变模型, 在固结过程中的控制方程为

1.4 初始条件与边界条件

(1) 初始条件

(2) 边界条件

在r=re处,

在r=rs处,

在r=rw处,

在z=0 处,

在z=H处,

1.5 半解析解推导

整理控制方程(1)和(2), 可得

式中:

引入任意常数q1、q2, 由式(10)可得

再引入常数Q, 有

求解式(12), 可得

当Q=Q1时, 式(12)中的q1、q2分别为q11和q21;而当Q=Q2时,q1、q2分别为q12和q22.

在不失最初假设的前提下, 假设q11=q22=1, 并引入变量Φ.则式(10)可表示为

式中:

将式(13)对变量r作两次积分, 并代入边界条件(4)、(5)以及考虑井阻的边界条件(6)可得

涂抹区半径比S=rs/rw.

将式(15)、(16)代入式(14), 可得

式中:4N4lnS −4N2−S2−1S2−1,井径比N=re/rw.

井阻边界条件式(7)通过变量Φ转换, 可得

式中: 涂抹系数α=kw/kws=ka/kas, 未扰动区土体与竖井中材料的渗透系数比β=kw/kww=ka/kaw.

此处需要说明: 虽然实际工程中kw/kww可能不等于ka/kaw, 但根据Zhou 等[17]的分析结果可知, 假设kw/kww=β, 当固结度超过一定值(20%∼30%)之后, 无论ka/kaw是否等于β, 固结曲线都将趋于一致, 即竖井地基达到一般设计要求的固结度, 所需要的时间不会因为ka/kaw(kaw不变)取值不同而不同.这说明在预测竖井地基固结度时, 假设kw/kww=ka/kaw是可行的.

对式(13)积分并代入边界条件可知, 对于涂抹区有

将式(18)代入式(19), 可得

注重宣传教育，构筑社会共治格局。树立“宣传也是监管”的理念，积极打造全方位、立体式宣传模式。广泛开展食品药品安全宣传活动，通过举办“食品安全宣传周”、安全用药月、食品药品安全知识“六进”等活动，建立科普服务站和志愿者队伍，强化媒体监督，引导公众合理消费。实施信用信息和“红黑榜”管理制度，建立企业主体责任约谈告诫机制，畅通“12331”举报投诉电话和网络举报平台，推动社会共治。

式中:

结合式(17)和(20), 可得

再对式(17)和(21)分别进行Laplace 变换, 整合后可得

边界条件(8)和(9)经Laplace 变换并结合式(22), 可求得解为

式中: 竖井直径dw= 2rw;井阻因子

将式(23)代入Laplace 变换下的式(17), 可得

故由式(14)可得

因此, Laplace 变换下的非饱和土竖井地基平均固结度由体积应变表示[15]为

式(25)、(26)通过Crump 方法编制程序实现Laplace 逆变换, 即得到瞬时均布荷载下考虑井阻与涂抹的非饱和土竖井地基等应变固结半解析解.

2 验证与算例分析

2.1 退化验证

为了验证本工作结果的正确性, 将半解析解退化为饱和土中Laplace 变换下考虑井阻与涂抹的竖井地基等应变固结解.

式中:

采用饱和土中等应变假设下考虑井阻与涂抹的竖井地基算例[6]进行验证, 其中N=10,dw= 0.3 m,H= 15 m,kw/kww= 10−4,S= 1.2,kw/kws= 5,ch=kwEs/γw=kw/γwmv= 2×10−7m2/s.根据Fredlund 非饱和土固结理论, 在非饱和土中一般取负值, 即ms2=mw2=−mv.将上述参数代入程序计算, 结果如图2 所示, 其中时间因素T=kwt/γwms1kr2e.由图2 可以看出, 二者的曲线几乎吻合, 初步验证了本工作中半解析解的正确性.

图2 不同方法下平均固结度的比较Fig.2 Comparison of average consolidation degree obtained from different methods

2.2 对比验证

为了进一步验证半解析解的可靠性, 在不考虑井阻与涂抹(α= 1,G= 0)的理想情况下,将半解析解与Qin 等[14]非饱和土自由应变假设下理想井固结解在不同ka/kw时进行比较.验证及后续算例分析均采用Qin 等[14]给出的非饱和土算例: 单层完全打穿竖井地基, 表面瞬时均布荷载为q=100 kPa,=5 kPa,=40 kPa,n0=50%,Sr0=80%,kw=10−10m/s,=−5×10−5kPa−1,=−2×10−4kPa−1,=−10−4kPa−1,=10−4kPa−1,rw=0.5 m,rs=1.5 m,re=4.5 m,H=10 m.

图3 为不同ka/kw(kw= 10−10m/s)时理想井在等应变与自由应变假设下与的消散曲线.在ua消散过程中,随着ka/kw增大而消散变快, 这是由于气相渗透系数ka(假设kw不变)增大引起的.而在消散曲线中, 当ka/kw>1 时呈现两个阶段, 在两阶段中间有一段“平台期”.在第一阶段,的消散受到影响, 消散较为缓慢, 且随着ka/kw(kw不变)增大而消散加快, 这体现了对于的耦合作用;进入第二阶段后,消散已经结束,消散速率(即曲线斜率)由于没有气体的影响而明显加快,消散曲线在不同ka/kw情况下逐渐趋于一致.以上所有现象均与Qin 等[14]给出的结果相符, 而且随着固结时间的增加,与在等应变与自由应变假设下的消散曲线逐渐趋于一致.综上, 验证了本工作非饱和土竖井地基等应变固结解的正确性.

图3 不同假设条件下平均超孔隙压力的比较Fig.3 Comparison of average excess pore pressure dissipation curves under different assumptions

2.3 算例分析

同时考虑井阻和涂抹时, 为了显示井阻和涂抹对非饱和竖井地基固结特性的影响, 选取不同的井阻因子G、涂抹系数α和涂抹区半径比值S对竖井地基固结进行分析, 并将非饱和土竖井地基在4 种假设情况下的固结度预测进行对比.

图4(a)为不同井阻因子G对考虑井阻和涂抹(α=3,S=3)的非饱和土竖井地基固结的影响.不考虑井阻(G=0)时的曲线与其他曲线对比可知, 井阻对竖井地基固结影响较为明显, 且井阻因子G越大, 固结越慢.在分析过程中, 取竖井内竖向渗透系数作为单一变量来调整井阻因子, 那么从本质上来看, 是因为竖井内竖向渗透系数的减小, 使得气相以及液相的消散过程变得相对缓慢, 从而延长了地基的固结时间.

图4(b)与图4(c)分别显示了不同涂抹系数α和不同涂抹区半径比S对考虑井阻(G=0.1)与涂抹的非饱和土竖井地基固结的影响.不考虑涂抹(α= 1 或S= 1)的曲线与其他曲线对比可知, 考虑涂抹将显著地增加竖井地基的固结时间, 且随着涂抹系数α减小, 固结变快;而随着涂抹区半径比S增大, 固结变慢, 当S大于5 后, 涂抹对竖井地基固结的影响与S= 5时无明显差异.

图4 非饱和土竖井地基固结分析Fig.4 Analysis to consolidation of unsaturated soil with vertical drain

图4(d)是非饱和土竖井地基在考虑井阻与涂抹(G= 0.1,α= 3,S= 3), 仅考虑涂抹(G= 0,α= 3,S= 3), 仅考虑井阻(G= 0.1,α= 1,S= 1)以及理想边界(G= 0,α= 1,S=1)假设下平均固结度预测的对比.从图4(d)可知, 井阻及涂抹对竖井地基的固结均有不同程度的影响, 且与平均超孔隙水压消散曲线一样, 平均固结度随时间变化的曲线也分为两个阶段.为了显示不同阶段的影响, 分别取不同时间因素T所对应的平均固结度以进行比较, 具体结果见表1.

表1 不同情况下平均固结度在不同阶段的比较Table 1 Comparison of average consolidation degree at different stages in different cases %

表1 不同情况下平均固结度在不同阶段的比较Table 1 Comparison of average consolidation degree at different stages in different cases %

T 第一阶段 第二阶段2×10−5 2×10−3 2×10−1 2 5理想井 1.11 23.76 45.60 97.41 99.98仅考虑井阻 0.93 23.47 42.46 95.44 99.93仅考虑涂抹 0.47 20.64 33.83 81.65 97.84涂抹+井阻 0.38 19.03 31.92 75.55 95.54

由表1 可知, 考虑井阻与涂抹的非饱和土竖井地基的平均固结度在第二阶段与其他3 种情况相比差别较为明显.当T=2 时, 同时考虑井阻和涂抹的竖井地基平均固结度, 与仅考虑涂抹的竖井地基平均固结度相差6.1%, 与仅考虑井阻的竖井地基平均固结度相差达19.89%,而与理想井竖井地基平均固结度相差高达21.86%.由此可知, 同时考虑井阻与涂抹在工程设计中更为合理.

3 结 论

本工作推导出考虑井阻与涂抹的非饱和土竖井地基等应变固结半解析解, 通过分析得到如下结论.

(1) 将半解析解退化为饱和土中考虑井阻与涂抹的等应变固结半解析解, 初步验证了所得半解析解的正确性.

(2) 通过与非饱和土中自由应变假设下理想井固结解的比较, 表明了非饱和土中等应变模型的有效性, 且间接验证了本工作中解的可靠性.

(3) 井阻对于非饱和土竖井地基固结有一定影响, 随着井阻因子G变大, 固结变慢.

(4) 考虑涂抹将显著地增加竖井地基的固结时间, 且随着涂抹系数α与涂抹区半径比S的增大, 固结变慢;但当S >5 时影响变化不再明显.

(5) 非饱和土竖井地基中, 同时考虑井阻与涂抹将使地基固结度的预测更为合理.