高维不确定性条件下飞行器级间分离可靠性评估

聂兆伟，王 浩，秦 梦，张海瑞

(1.南京理工大学机械学院，南京 210094；2. 中国运载火箭技术研究院，北京 100076)

0 引 言

为提升飞行器运载能力，在飞行过程需进行级间分离，通常二级发动机喷管位于一级壳体内，在分离过程中应着重关注二级发动机喷管边缘与一级壳体的相对位置关系，这是因为两体相对运动容易发生磕碰导致飞行任务失败，因此,在大气层内实施级间分离仍然是需要攻克的一项关键技术[1-2]。高超声速飞行器在大气层内实施级间分离时受到诸多不确定性因素的影响，如分离体质量特性偏差、下面级残余推力偏差、分离初始攻角偏差、分离气动特性偏差等[3-4]，特别是在大气层内实施分离时，其分离点高度较低，受大气影响显著，承受动压较大且不确定性因素影响显著，两体分离存在较大风险，严重制约了飞行器任务可靠性水平的提升。

常规分离方法通常是基于参数偏差的极限组合进行的[1]，其设计结果通常具有较大的安全裕度，无法反映系统参数的内在可变性，并且难以满足精细化需求，甚至在某些情况下无法给出可行的分离方案，影响飞行器的总体性能。

针对这一问题，目前的研究趋势是综合考虑级间分离过程各种不确定性因素的影响，将不确定性因素注入分离动力学模型，建立飞行器分离可靠性模型，实现分离方案的精细化分析[5-6]。蒙特卡洛方法具有无偏性和非侵入性，适用于处理高维不确定性空间问题，国内外学者系统研究了利用蒙特卡洛方法开展分离仿真分析[7-9]，然而，该方法针对高可靠性分析问题，需开展大规模打靶仿真，仿真次数高达十万甚至百万次，导致求解效率较低，难以满足快速设计迭代的工程需求。

为进一步提升可靠性分析效率，基于灵敏度分析方法直接滤除次要不确定性因素影响，筛选识别若干主要不确定性因素影响，进而引入代理模型,可大幅提升求解效率[10]，然而上述方法直接滤除了次要不确定性因素的影响，影响了分析计算精度，导致结果可信程度难以评估。针对这一问题，为实现高维不确定性条件下级间分离可靠性分析问题的精度与效率的统筹兼顾，本文以典型的轴对称式飞行器级间冷分离方案为研究对象，综合考虑级间分离过程中的诸多不确定性因素影响，在确保分析精度前提下，采用活跃子空间方法实现原高维空间与降维空间的数学映射，尽可能保留高维模型更多信息，进而采用含交叉项的高阶多项式回归模型进行近似，给出了求解适用于高维不确定性的飞行器级间分离可靠性分析方法。

1 飞行器分离可靠性建模

1.1 分离动力学建模

针对冷分离方案的环境特点与性能要求，建立分离动力学模型。分离过程中，上面级受到重力、分插拔脱力和气动力的影响，下面级受到重力、分插拔脱力、主发动机残余推力、反推发动机推力以及气动力的影响，飞行器级间冷分离示意图如图1所示。

图1 飞行器级间冷分离示意图Fig.1 Illustration of vehicle stage separation

定义飞行器上面级、下面级分离体的弹体坐标系原点与各自质心重合，x轴与分离体的弹体纵轴重合,分离坐标系与分离初始时刻飞行器组合体的弹体坐标系重合。基于上述定义，两体分离过程刚体动力学方程可表示为如下形式：

(1)

式中:m是分离体的质量；vx,vy,vz是分离体的速度矢量在对应分离坐标系下的速度投影；Fx,Fy,Fz是分离体的合力在对应分离坐标系下的投影；ωx1,ωy1,ωz1为分离体的转动角速度在对应弹体坐标系中的分量；Ix1,Iy1,Iz1为分离体相对其对应弹体坐标系的转动惯量；Mx1,My1,Mz1是分离体的合力矩在对应弹体坐标系下的投影。此外，补充建立速度与位置、欧拉角与角速度之间的关系，如式(2)所示。

(2)

其中，φ,ψ,γ为分析对象的弹体坐标系相对分离坐标系的欧拉角。

1.2 分离可靠性建模

针对分离过程的具体特点，结合分离动力学模型分别建立组合体、分离体上面级和分离体下面级的六自由度刚体运动及动力学仿真模型。在飞行器分离过程中，存在多种分离故障模式，其中较为典型的故障模式为两体在分离时二级发动机喷管与一级壳体发生干涉碰撞，导致上面级功能失效。针对冷分离方案上面级发动机位于下面级壳体内的特点，在分离过程中需要着重关注两者之间的相对距离，这里采用文献[11]中的碰撞检测方案给出两体分离过程中的最短距离。此外，另外一种较为典型的故障模式为两体分离后上面级受到诸多因素干扰，起控时由于角速度过大造成上面级姿态失稳发散。

表1 级间冷分离主要不确定性因素Table 1 Main uncertainty factors of stage separation

结合分离动力学模型，针对轴对称式飞行器级间冷分离方案的特点，综合考虑质量、气动、残余推力以及反推发动机等不确定性因素的影响，给出分离过程的主要不确定性因素见表1。为满足精细化设计需求，在梳理分离过程不确定性的基础上，将不确定性因素注入分离动力学模型，建立级间分离可靠性模型。结合两种典型的分离故障模式，分别给出对应可靠性模型的功能函数为

(3)

其中,X为高维不确定性参数向量;d为两体分离最短距离;d0为给定的两体分离最短距离阈值;ω为起控时上面级角速度;ω0为给定起控时上面级角速度最大阈值。当两体分离最短距离过小或者上面级角速度过大都会导致分离失效，这两种故障模式的失效域分别为

(4)

进一步定义可靠性模型功能函数的联合概率密度函数分别为pd(X),pω(X)，上述两种典型分离故障模式的可靠度可以表达为：

(5)

2 飞行器分离可靠性分析

2.1 活跃子空间降维分析

通过试验数据和工程经验确定分离不确定性参数的分布形式，进而由式(5)给出两种典型分离故障模式的可靠性定量分析结果。然而由于不确定性参数较多，难以获得失效域与联合概率密度函数的显示表达，直接积分求解难度较大且复杂耗时，因而传统方法通常利用灵敏度分析方法识别主要不确定性因素，利用蒙特卡洛方法进行主要不确定性因素的可靠性分析。然而灵敏度分析方法直接滤除了次要不确定性因素的影响，影响了可靠性分析的精度，导致结果可信程度难以评估。针对这一问题，为保留高维可靠性模型更多的信息，采用活跃子空间方法开展高维不确定性参数空间的降维；

以两体分离最短距离d为例，结合高维不确定性参数空间X，两体分离最短距离对应的信息矩阵C可以表达为

(6)

其中，w包含信息矩阵的全部特征向量；Λ=diag(λ1,λ2,…,λn),λ1≥λ2≥…≥λn≥0包含信息矩阵的全部特征值；Λ1=diag(λ1,λ2,…,λm)为其中较大的m个特征值，w1为对应的特征向量；Λ2=diag(λm+1,λm+2,…,λn)为剩余较小的特征值，w2为其对应的特征向量。则活跃子空间定义为：

(7)

其中，Y=[y1,y2,…,ym]T，Y∈Rm，X∈Rn。进一步，两体分离最短距离d在活跃子空间有如下关系[12]：

(8)

当Λ2中的特征值之和与Λ1相比忽略不计时，两体分离最短距离d(X)可以采用活跃子空间Y∈Rm近似替代原来的X∈Rn空间。工程实际问题中，也常常存在这样的低维活跃子空间[13-14]，实现从高维空间X∈Rn到低维空间Y∈Rm的近似映射

(9)

(10)

2.2 高阶多项式回归近似

为进一步提升可靠性分析的效率，针对降维空间的特点，选取一定数量的采样点，利用含交叉项的高阶多项式回归模型对降维后的m维空间进行高效近似。为了使得采样点均匀地分布在空间中，采用极大极小距离序贯采样方法，假设当前训练点集为DT，则最大化距训练点集最小的距离，以此作为序贯点，序贯抽样，直至满足所需采样点数量，避免初始采样不均匀导致无法获取采样空间的全局有效信息。

(11)

典型的含交叉项二阶响应面模型如下所示。

(12)

式中:y为降维后的m维空间;ε为系数向量。通过上述方式，建立降维空间与两体分离最短距离的近似关系映射。

2.3 可靠性分析

根据分离可靠性需求，利用蒙特卡洛方法在原n维空间中抽取一定数量的采样点。与蒙特卡洛方法不同的是，利用式(9)实现一定数量采样点从高维空间X∈Rn到低维空间Y∈Rm的直接映射，进而利用高阶多项式近似，实现一定数量采样点的近似求解，实现分离可靠性的高效求解。

(13)

3 实例结果

以某低空高速轴对称式飞行器级间冷分离方案为应用对象，飞行高度38 km，分离冲量由两个对称安装的反推火箭提供，分离开始后2.5 s上面级起控。通过试验数据和工程经验确定分离不确定性参数的分布形式见表2。

表2 级间分离不确定性分布类型及其参数Table 2 Distribution models and parameters of uncertainty factors of stage separation

图2 两体分离最短距离真实值与多项式响应值关系图Fig.2 Comparison of the true value and polynomial responses of the shortest distance between separated bodies

图3 起控时上面级角速度真实值与多项式响应值关系图Fig.3 Comparison of the true value and polynomial responses of the angular velocity of the upper stage

进而，结合多项式回归模型和蒙特卡洛方法进行高效可靠性分析，分别给出两体分离最短距离和分离2.5 s上面级角速度的频率分布直方图及其分布近似拟合如图4、图5所示。

图4 两体分离最短距离近似拟合分布Fig.4 Distribution of the shortest distance between separated bodies

图5 分离2.5 s上面级角速度近似拟合分布Fig.5 Distribution of the angular velocity of the upper stage about 2.5 s after separation

通过数据分析，两体分离最短距离d近似满足对数正态分布，分离2.5 s上面级角速度ω近似满足威布尔分布。为验证上述方法的准确性和有效性，直接采用蒙特卡洛方法在整个高维不确定性参数空间随机抽取100000个采样点，以此作为可靠度的参考值。给定两体分离最短距离阈值d0=22 mm，分离2.5 s上面级角速度阈值ω0=1.8(°)/s，此时两种典型分离故障模式的可靠度对比见表3。

进一步给出两种典型分离故障模式的可靠度随给定阈值变化的对比图，如图6、图7所示。结果表明，不同阈值对应分离可靠性曲线与常规打靶仿真结果吻合良好，该方法能够高效描述高维不确定性因素对分离过程的影响，在满足可靠性精度要求的前提下，显著提升了可靠性分析效率。

表3 两种典型分离故障模式可靠度对比Table 3 Reliability comparison of two typical failure modes during the process of stage separation

图6 分离碰撞故障模式可靠度随给定阈值的变化对比Fig.6 Comparison of reliabilities with different thresholds of the failure mode of the separation collision

图7 起控失效分离故障模式可靠度随给定阈值的变化对比Fig.7 Comparison of reliabilities with different thresholds of the control failure mode

4 结 论

本文以典型的轴对称式飞行器级间冷分离方案为研究对象，综合考虑高维不确定性影响因素，建立了飞行器级间分离可靠性模型，提出一种基于高维不确定性的飞行器级间分离可靠性分析方法，实现了高维不确定性问题的快速求解。结果表明：

1)与灵敏度分析方法直接滤除次要不确定性因素相比，本文方法利用活跃子空间方法实现原高维空间与降维空间的数学映射，保留了高维不确定性模型的更多信息，提升了高维不确定性条件下可靠性分析精度。

2)与常规蒙特卡洛方法相比，利用极大极小序贯采样方法构造样本点集获取了降维空间的全局信息，结合降维空间参数分布特点，通过含交叉项的高阶多项式回归模型高效近似，大幅提升分离可靠性定量分析效率。

3)结合实例结果，不同阈值对应分离可靠性曲线与常规打靶仿真结果吻合良好，验证了本文方法的正确性和高效性。本文方法除获取可靠性信息外，保留了高维不确定性空间的相关数据信息，如分布类型、方差等信息，为后续数据挖掘提供有力支撑。