如何讲解不定积分

杜先云 任秋道

【摘要】函数的不定积分是与函数导数（微分）相反的问题，本文给出了利用导数（微分）来计算不定积分的方法，同时推广了不定积分的基本公式.

【关键词】导数;微分;不定积分

【基金项目】四川省教育厅基金资助（16ZB0314）

一、引 入

许多实际问题需要解决与求导问题相反的问题，即已知某个函数的导数来求这个函数，也就是求一个可导函数，使它的导函数等于已知函数.由此引出了原函数和不定积分的概念.反的问题比正的问题更加难于理解.例如，学生理解反函数就比较困难.不定积分比导数更难理解，不易入门，为此笔者归纳总结了如下内容.

二、不定积分的概念

定义1 设f（x）是定义在区间I上的一个函数.如果存在区间I上的一个可导函数F（x），使得对任意的x∈I均有

F′（x）=f（x），或dF（x）=f（x）dx，

那么函数F（x）称为f（x）（或f（x）dx）在区间I上的一个原函数.也就是说，一个函数的导数等于已知函数，这个函数就是已知函数的原函数.

原函数的存在问题 如果f（x）在某区间I上连续，那么f（x）在该区间上一定有原函数，即一定存在区间I上的可导函数F（x），使得任意x∈I，都有

F′（x）=f（x），或dF（x）=f（x）dx.

原函数的一般表达形式 如果f（x）一旦存在原函数，它的原函数就不唯一，那么这些原函数之间有什么差异呢？能否写成统一的表达式呢？对此，有如下结论：

定理1 若函数F（x）是f（x）的一个原函数，则F（x）+C是f（x）的全部原函数，其中C为任意常数.

证明 若f（x）有一个原函数F（x），则有F′（x）=f（x），且对于任意常数C，

[F（x）+C]′=F′（x）+C′=f（x） （x∈I），

即函數F（x）+C也是f（x）的原函数.也就是说，如果f（x）有一个原函数F（x），那么就有无穷多个原函数.

另一方面，设G（x）是f（x）的另一个原函数，即G′（x）=f（x），下面证F（x）与G（x）之间只相差一个常数.事实上，由于

[F（x）-G（x）]′=F′（x）-G′（x）=f（x）-f（x）=0 （x∈I），

根据拉格朗日中值定理的推论：在一个区间上导数恒为零的函数为常数，

所以

F（x）-G（x）=C0（C0为某一个常数），

或者G（x）=F（x）+C0.

因此，对于任意常数C，表达式F（x）+C

就可以表示f（x）的任何一个原函数.

f（x）的全体原函数所构成的集合是一个函数族，记为

{F（x）+C|-∞

为了书写方便，简记为F（x）+C.

定义2 如果函数f（x）在区间I上有原函数，那么f（x）在I上的全体原函数所组成的集合称为f（x）在区间I上的不定积分.也就是说，函数f（x）在区间I上含有任意常数的原函数（即F（x）+C）是f（x）在区间I上的不定积分，记为∫f（x）dx，

其中符号∫叫作积分符号，x叫作积分变量，f（x）叫作被积函数，f（x）dx叫作被积表达式.

三、利用微分理解不定积分

不定积分是导数（微分）的逆问题，导数（微分）运算与积分运算是互逆运算，因此常常借助于导数（微分）运算来计算不定积分.

定理2 函数的不定积分与微分（导数）的关系：

ddx∫f（x）dx=f（x），d∫f（x）dx=f（x）dx，

∫F′（x）dx=F（x）+C，

∫dF（x）=F（x）+C.

证明 设F′（x）=f（x），有∫f（x）dx=F（x）+C.

利用导数与微分的运算法则可得：

ddx∫f（x）dx=[F（x）+C]′=F′（x）+C′=f（x），

d∫f（x）dx=d[F（x）+C]=dF（x）+dC=f（x）dx，

∫F′（x）dx=∫f（x）dx=F（x）+C，

∫dF（x）=∫F′（x）dx=F（x）+C.

积分与微分的关系表明：符号∫表示积分运算，d表示微分运算.当积分运算∫与微分运算d结合在一起（它们中间没有任何函数）时，相互抵消，或者抵消后剩余一个常数.因此，在忽略任意常数的基础上，积分与微分互为逆运算.与加减乘除四则运算类似，要求逆运算积分，开始的时候常常要借助顺运算微分.不定积分∫f（x）dx是一个整体记号，也可以拆开来理解，符号∫表示积分运算，dx可以看作变量x的微分，而f（x）dx则表示一个函数的微分.计算∫f（x）dx就是寻找原函数的微分，即求出dF（x）.也就是

∫f（x）dx=∫dF（x）=F（x）+C.

例如，

∫dx=x+C，∫dsin x=sin x+C，∫de2x=e2x+C.

此外，我们也要理解公式： ∫F′（x）dx=∫dF（x）=F（x）+C.如，

∫kdx=∫（kx）′dx=kx+C，

∫sec2xdx=∫（tan x）′dx=tan x+C，

∫11-x2dx=∫（arcsin x）′dx=arcsin x+C.

例 已知（1）f′（sin2x）=cos2x，（2）∫f（x）dx=ex+cot x+C，分别求f（x）.

解 （1）因为f′（sin2x）=cos2x=1-sin2x，

所以f′（x）=1-x，

因而f（x）是1-x的原函数.由定理2，可得

f（x）=∫（1-x）dx=x-x22+C.

（2）根据定理2，可得

f（x）=ddx∫f（x）dx=（ex+cot x+C）′=ex-csc2x.

四、基本积分公式及推广

因为积分运算与微分运算互为逆运算，所以由导数公式可以相应地得出基本积分公式.基本积分公式是求不定积分的基础，其他函数的不定积分常常经过运算变形后最终都归结为运用基本积分公式求解.直接利用基本积分公式与线性性质来求解不定积分的方法常常被称为直接积分法.

下面推广基本积分公式.我们知道，基本积分公式有时不能很好地解决大量初等函数的原函数问题，需要加以推广.有下面定理：

定理3 如果∫f（x）dx=F（x）+C，u=φ（x）是x的任一可导函数，则

∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f（u）du=[F（u）+C]u=φ（x）.

证明 由∫f（x）dx=F（x）+C，知F′（x）=f（x），

又u=φ（x）是x的可导函數，则有u′=φ′（x），从而F[φ（x）]可导，并且利用复合函数的求导法则，可得

ddxF[φ（x）]=dFdu·dudx=F′[φ（x）]φ′（x）=f[φ（x）]φ′（x）.

因此，F[φ（x）]是f[φ（x）]φ′（x）的一个原函数，从而∫f[φ（x）]φ′（x）dx=F[φ（x）]+C.

根据微分的意义，有φ′（x）dx=du，可得

∫f[φ（x）]φ′（x）dx=∫f（u）du=[F（u）+C]u=φ（x）.

定理3表明：如果F（x）是f（x）的一个原函数，u=φ（x）是任一可导函数，则有

∫f（u）du=F（u）+C，即∫f[φ（x）]φ′（x）dx=F[φ（x）]+C.

也就是说，在不定积分的等式中，将积分变量换成任一可导函数等式仍然成立.因此，在基本积分公式中，把自变量x换成任一可微函数u=φ（x）后，公式仍成立.如，

∫ex2dx2=ex2+C，u=x2;

∫11+xd（1+x）=ln|1+x|+C，u=x+1;

∫11+x2d（1+x2）=ln（1+x2）+C，u=x2+1;

∫1cos xd（cos x）=ln|cos x|+C，u=cos x.

这个定理极大地丰富了基本积分公式的内容，也扩大了其使用范围.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育版社，2001.

[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

[4]杜先云，任秋道.如何利用构造法培养学生的创新思维[J].绵阳师范学院学报，2015（11）：126-130.

[5]杜先云，任秋道，王敏，等.条件极值与均值不等式求最值的比较[J].绵阳师范学院学报，2018（08）：30-33，46.

[6]林银河.V-型函数的周期点[J].四川师范大学学报：自然科学版，2015（04）：132-135.

[7]周世新.关于函数极限求法的探讨[J].呼伦贝尔学院学报，2009（01）：70-72.