例说分类讨论思想在解题中的一些应用（一）

陈显华

【摘要】分类讨论，又称分情况讨论，当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时，我们就需要对这一问题进行必要的分类.将一个数学问题根据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合，这种研究问题的思想方法就是“分类讨论的思想方法”.分类讨论法是根据问题的不同情况分类求解，它体现了化整为零和积零为整的思想与归类整理的方法，所以它是极为重要的思想方法.

【关键词】分类讨论思想;解题;应用

一、用分类讨论思想求数轴上的点对应的数

例1 点A在数轴上距离原点有3个单位长度，将点A向右移动4个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时点A表示的数是.

解 当点A在数轴正半轴上时，点A在数轴上距离原点有3个单位长度，将点A向右移动4个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时点A表示的数是0;当点A在数轴负半轴上时，点A在数轴上距离原点有3个单位长度，将点A向右移动4个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时点A表示的数是-6.

综上所述，点A在数轴上距离原点有3个单位长度，将点A向右移动4个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时点A表示的数是0或-6.

二、用分类讨论思想求代数式的值

例2 已知|a|=2，|b|=3，求a+b+2012的值.

解 ∵|a|=2，|b|=3，

∴a=±2，b=±3.

∴当a=2，b=3时，a+b+2012=2+3+2012=2017;

当a=-2，b=-3时，a+b+2012=-2+（-3）+2012=2007;

当a=2，b=-3时，a+b+2012=2+（-3）+2012=2011;

当a=-2，b=3时，a+b+2012=（-2）+3+2012=2013.

综上所述，已知|a|=2，|b|=3，式子a+b+2012的值为2017，或2007，或2011，或2013.

三、用分类讨论思想求盈利或亏损额

例3 某商贩在一次买卖中同时卖出两件上衣，每件都以135元售出，若按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%，则在这次买卖中，该商贩（  ）.

A.不赔不赚  B.赚9元

C.赔18元D.赚18元

分析 有些学生由于受思维定式的影响（忽略了两件衣服的进价），错误地认为一件盈利25%，另一件亏本25%，盈利和亏本的百分数相同，并且每件上衣都以135元售出，所以总的盈利、亏本情况一定是不赔不赚.

解 设盈利25%的这件上衣的进价为x元，则由

135-x=25%x，得x=108.

设亏本25%的这件上衣的进价为y元，则由

y-135=25%y，得y=180.

∴总售价-总进价 =135×2-（108+180）=-18（元）.

综上所述，该商贩赔了18元.故本题选C.

四、 用分类讨论思想求锐角三角函数值

例4 已知sin α（α为锐角）是方程3x2-7x+2=0的实数根，求sin α的值.

解 设一元二次方程3x2-7x+2=0的两个实数根分别为x1和x2，且x1

∵sin α（α为锐角）是方程3x2-7x+2=0的实数根，

∴sin α=13或sin α=2.

当α为锐角，sin α=13时，这样的α是存在的;

当α为锐角，sin α=2时，这样的α不存在，因为当α为锐角时，0

综上所述，sin α（α为锐角）是方程3x2-7x+2=0的实数根时，sin α的值只能等于13.

五、用分类讨论思想求线段的长度

例5 已知线段AB=10 cm，C是线段AB所在直线上的一点，且BC=4 cm，M是线段AC的中点，则线段AM的长为.

解 （1）当点C在线段AB上时（如图1所示），

∵M是线段AC的中点，

∴AM=CM=12AC.

又∵AB=10 cm，BC=4 cm，

∴AC=AB-BC=6 cm.

∴AM=3 cm.

（2）当点C在线段AB的延长线上时（如图2所示），

∵M是线段AC的中点，

∴AM=CM=12AC.

又∵AB=10 cm，BC=4 cm，

∴AC=AB+BC=14 cm.

∴AM=7 cm.

综上所述，线段AM的长为3 cm或7 cm，故填3 cm或7 cm.

六、用分类讨论思想求三角形的周长

例6 在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（  ）.

A.42B.32

C.42或32D.37或33

解 如图3所示，当高AD在△ABC的内部时，△ABC的周长等于AB+AC+BC=15+13+（9+5）=42;

如图4所示，当高AD在△ABC的外部时，△ABC的周长等于AB+AC+BC=15+13+（9-5）=32.

综上所述，△ABC的周长为42或32.故本题选C.

七、用分类讨论思想求三角形内角的度數

例7 在△ABC中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠BAC的度数是.

解 如图5所示，当BC边上的高在△ABC内部时，过点A作AD⊥BC，垂足为点D.

根据AB=2，∠B=30°可得∠BAD=60°，AD=1.

根据勾股定理可得CD=1，

即△ADC为等腰直角三角形，所以∠DAC=45°，于是∠BAC=60°+45°=105°.

如图6所示，当BC边上的高在△ABC外部时，过点A作AD⊥直线BC，垂足为点D.

因为∠BAC+∠B=∠ACD，所以∠BAC=45°-30°=15°.

综上所述，在△ABC中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠BAC的度数是105°或15°.

例8 等腰三角形一条腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数.

解 三角形的高的位置是由三角形的形状所决定的.对于等腰三角形而言，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内部;当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外部.所以应该分两种情况进行讨论.

如图7所示，在△ABC中，AB=AC，∠A为锐角，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则∠ACD=45°，

根据直角三角形的两个锐角互余可知∠A=45°.

如图8所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC为钝角，

过点C作BA延长线的垂线，垂足为D，

则由题意知∠ACD=45°.根据直角三角形的两个锐角互余可知∠CAD=45°，

于是∠BAC=135°.

综上所述，等腰三角形一条腰上的高与另一腰所成的夹角为45°时，这个等腰三角形的顶角的度数为45°或135°.

例9 等腰三角形的一条腰上的高与腰长之比为1∶2，则该等腰三角形的顶角为.

解 如图9所示，在△ABC中，AB=AC，∠A为锐角，过点C作CD⊥AB，垂足为D.根据DCAC=12，可得sin A=DCAC=12，所以∠A=30°.

如图10所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC为钝角，过点C作BA的延长线的垂线，垂足为D.

根据DCAC=12，

可得sin∠DAC=DCAC=12，所以∠DAC=30°，于是∠BAC=150°.

综上所述，等腰三角形的一条腰上的高与腰长之比為1∶2，则该等腰三角形的顶角为30°或150°.故填30°或150°.