高中数学知识与方法大梳理(四)

2021-02-11 12:09龙艳文
新世纪智能(数学备考) 2021年12期
关键词:幂函数值域实数

龙艳文

幂函数、指数函数、对数函数

类型一:幂函数的图象和性质

例如图所示,图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象,已知n取±2,四个值,则相应于C1,C2,C3,C4的n依次为( )

[方法总结]

解决幂函数图象问题应把握的两个原则:

(1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:

①在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);

②在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).

(2)依据图象确定幂指数α与0,1 的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或或y=x3)来判断.

类型二:指数函数的定义域、值域、单调性的应用

例1(1)函数y=ax-2+1(a>0 且a≠1)的图象过定点___________.

(2)函数y=2x+b的图象不经过第二象限,则实数b的取值范围是____________.

例2(1)不等式的解集是____________.

例3(1)解方程:4×4x-5×2x-6=0.

(3)已知9x-10 · 3x+9 ≤ 0,求函数y=a2x-ax+1(a>0 且a≠1)的最大值.

[方法总结]

方法:(1)指数方程与不等式问题关键是两边化同底.

(2)与指数函数有关的值域问题,

方法一:复合函数法,转化为利用指数函数的单调性;

方法二:换元法.

注意:若底数为字母,则需考虑分类讨论.

例4已知函数

(1)证明:f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;(2)若f(x)为奇函数,求实数a的值.

类型三:对数函数定义域、值域、单调性应用

例1(1)当a>0 且a≠1 时,函数y=1+logax的图象必定过定点____________.

(2)函数y=logax和的图象关于____________对称.

例2(1)求下列函数的定义域.

①y=;②y=

(2)方程log2x+log2(x-3)=2的解为_______________.

[方法总结]

方法:解对数不等式和方程关键两边化同底.

注意:考虑对数的定义域或最后检验.

化同底的方法:0=loga1;1=loga a=a0;M=logaaM=alogaM.

例3(1)已知函数则它的值域为____________.

(2)若函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3 倍,求a的值.

(3)求函数f(x)=(log2x)2-2log2x+3,x∈[1,4]的值域.

[方法总结]

方法:与对数有关的最值问题,利用单调性或换元.

注意:考虑定义域和分类讨论.

例4(1)函数y=log2(x2-4x-5)的单调区间为__________.

[方法总结]

方法:与对数有关的单调性,利用复合函数,结合图象分析.

注意:考虑定义域和分类讨论.

例5(1)已知函数y=(x2-mx+2)的定义域为R,则实数m的取值范围为__________.

(2)已知函数y=(x2-mx+2)的值域为R,则实数m的取值范围为____________.

[方法总结]注意:比较两个问题的区别.

函数零点

类型一:函数零点判断问题

例1(1)函数f(x)=的零点个数为( )

A.3 B.2 C.1 D.0

(2)函数f(x)=x3-x2-1的零点所在的区间是( )

A.(0,1) B.(-1,0) C.(1,2) D.(2,3)

(3)函数f(x)=2x+x-4零点所在区间为( )

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

(4)设f(x)=lnx+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为( )

A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

例2( 1)函数f(x)=lgx-x零点的个数为__________ ;

(2)函数f(x)=2x-x2零点的个数为__________.

[方法总结]

方法1:转化为两个函数数形结合.

合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题.两个函数的图象交点的个数,就是函数零点的个数.

注意:函数图象的变化趋势(如渐近线,趋近点等).

方法2:利用零点存在定理.

利用函数零点存在定理进行判断,必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数.

方法3:解方程.

函数零点问题转化为方程根的问题,即通过解方程,由方程是否有解来判断函数是否有零点,其中方程有几个解就对应着函数有几个零点.

类型二:函数零点的应用

例1已知函数f(x)=若方程f(x)=a有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是( )

例2已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2 个零点,则a的取值范围是( )

A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞)

例3已知函数f(x)=恰有三个零点,则实数m的取值范围是_________.

[方法总结]

方法:数形结合,合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题.两个函数的图象交点的个数,就是函数零点的个数.

注意:函数图象的变化趋势(如渐近线,趋近点等).

例4若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,则实数a的取值范围是_____.

例5若函数f(x)=2x--a的零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是( )

A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)

[方法总结]

方法1:转化为方程有解问题.

方法2:参变分离,即a=F(x),则a的范围即为F(x)值域.

方法3:利用零点存在定理.

结论:已知函数y=f(x) 在区间(a,b) 上单调,若f(x) 在(a,b) 上存在零点,则f(a)f(b)<0.

注意:若y=f(x)在区间(a,b) 上不是单调函数,则上述结论不一定成立.

类型三:二次函数零点分布

例1(1)如果二次函数y=x2+mx+(m+3)在(0,+∞)上有两个零点,求m的取值范围.

(2)若方程x2-2ax+4a-3=0 的两根均大于1,求实数a的取值范围.

[方法总结]

方法1:韦达定理法,如对于二次方程根的分布情况.(两根与某一非零常数的关系同理).

例2(1)求实数m的范围,使关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0.

①有两个实根,且一个比2 大,一个比2 小;②有两个实根,且都比1 大;③有两个实根α,β,且满足0<α< 1<β<4;④一根小于1,另一根大于2;⑤两根均在(1,4)之间.

(2)关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的两个实根一个小于1,另一个大于1,求实数k的取值范围.

(3)在下列条件下,分别求出m的取值范围.

①方程x2-mx-4=0 在[0,1]有解;②函数f(x)=x2-3x+4-m在[-1,1]上有零点.

[方法总结]

方法2:图象分析法

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