基于累积平方误差-总平方波动指标的模型预测控制器性能评价及自愈

张 浩,赵 众

(北京化工大学信息科学与技术学院,北京 100029)

1 引言

模型预测控制(model predictive control,MPC)作为一类先进控制方法在航空航天、石油化工、发电等工业领域应用范围广,MPC控制器运行正常并保持良好的控制器性能具有非常重要的实际意义[1].

在工业实践中,MPC在投用初期普遍满足性能要求,而在经过一段时间的运行后,由于各种因素,MPC控制器的性能可能出现下降.为了解决这个问题,通过对MPC控制器进行实时性能评估,及时发觉MPC控制器性能的变化并进行控制器参数的保性能自愈研究正成为近年来的研究热点[2].

1989 年,Harris[3]提出了最小方差控制(minimum variance control,MVC)性能评价指标,基于此基准进行控制器性能评价.Desborough等人[4]在1993年对MVC性能指标实行了改进,计算得到实际方差与MVC指标之比,并将此作为控制器性能评价基准,当比值更接近1时,表示性能更好.Grimbl提出了广义MVC准则[5],针对MVC没有考虑约束,难以在实际中应用的问题进行了改进.Huang B和Shah S L在2009年提出了线性二次高斯指标(linear quadratic Gaussian,LQG)作为MPC性能评价的基准,不考虑约束,通过选取输入输出方差的加权,得到一条性能评价曲线作为基准,对MPC控制器性能进行评价[6].Yanting X等人提出了基于马氏距离(Mahalanobis distance,MDBI)及其推断基准的总体性能指标,用于MPC性能监控[7].在以往的控制器自愈研究中,Lee J H,Yu Z H通过闭环频域分析来调整控制器性能[8].Liu W,Wang G探索了几种多目标优化技术并提出了一种于所开发的递归多目标优化算法的预测控制器自动时序程序来研究控制器性能自愈[9].Ali E,Ai-Ghazzawi基于模糊逻辑探索开发了一种自动在线调整策略用以调整预测步长和输入输出权重矩阵,进而实现MPC自愈[10].Peng J K,Manthanwar A M等人提出了一个基于随机的最小退避工作点选择问题,以使MPC性能自愈[11].Stefano和Alberto通过采用控制器匹配整定MPC[12].Francisco M,Vega P探索了MPC参数自动调整的多目标优化方法[13].Jabbour N,Mademlis C提出了一种将模型参考自适应方法与模糊逻辑技术相结合,可以在线自动估计和微调离散时间MPC参数的新方法[14].

本文采用累积平方误差(integral squared error,ISE)和总平方波动(total squared variation,TSV)[15]相结合的性能指标作为MPC的实时评价指标,并利用无限时域MPC的逆最优特性来修正MPC控制器参数,实现MPC保性能自愈.在直线二级倒立摆的MPC控制实验结果证实了所提方法的可行性和有效性.

2 基于ISE-TSV指标的控制器性能评价

本文的研究对象为如下的线性不确定性离散系统:

其中:A为系统的状态矩阵,B为系统的输入矩阵,C为系统的输出矩阵,x(k)表示状态的离散形式,u(k)表示输入的离散形式,y(k)表示输出的离散形式,E代表系统噪声的传递矩阵;w(k)是均值为0的高斯白噪声.其中∆A=DFH.D,F,H是系统不确定性的表示.

控制律用状态反馈形式表示为

由以上可以得到如下闭环系统:

针对上述式(3)闭环系统,使用累积平方误差(ISE)和总平方波动(TSV)分别衡量控制器抗干扰性能和控制消耗,对于性能的考虑更为综合.它们的定义[16]是

其中ρ≥0是权重因子.显然,ρ越接近于0意味着ISE(TSV)越重要(次要).ISE和TSV可以做归一化处理,将ISE和TSV除以各自的上限值,则权重系数ρ可限定在范围[0,1]之内.

有可行解,并且Y=KX,状态协方差Σx

3 基 于ISE-TSV指 标 的MPC控 制 器 性 能 自愈

研究对象为式(3)所示,

使用Schur补引理[20],并且令W=KX,可以得到ISETSV问题的LMI形式. 证毕.

从定理1中可以看出控制器的状态反馈解K∗可以通过K∗=W∗X∗−1来解出.但若是遇到问题出现无可行解的情况时,可以适当调节输入与输出的方差上界.MPC需要修正目标函数中的加权以提升控制器的鲁棒性能,而ISE-TSV指标具有MPC逆最优特性,成为了解决MPC控制器参数鲁棒自愈问题的一个新途径.

3.1 ISE-TSV问题与无限时域MPC

3.1.1 无限时域MPC

线性系统中的无限时域MPC 的解可以等同于LQR控制问题[21].可表示为

3.1.2 LQG控制

3.1.3 ISE-TSV控制问题

在以上3个问题中,全部假定满足以下假设[18]:

假设1R>0,Q≥0.

假设2(A+∆A,B)稳定.

假设3(A+∆A,Q)能观.

假设4(A+∆A,EΣwET)能控.

当假设1-4全部成立时,ISE-TSV问题(42)与无限时域MPC问题(37)具有一样的状态反馈解.

当假设1-4全部成立时,ISE-TSV问题(25)与具有相应的加权矩阵Q,R的无限时域MPC问题(37)有相同的状态反馈解K.

从此可得,对于ISE-TSV问题中解得的状态反馈K,总存有相应的无穷时域MPC的解与其对应.可由给定的状态反馈K来求取无穷时域MPC的加权矩阵Q和R,再根据Riccati方程更新K[24].

3.2 MPC逆最优问题求解

逆最优定义:已知系统(A,B),给定一个状态反馈增益K,求加权矩阵Q和R,使K成为系统(A,B)对应于性能指标(14)的最优反馈.

定理2考虑存在模型偏差,如果∃P≥0,Q≥0,R>0,P1>0和对称矩阵T1,T2,以下优化问题:

有解,那么LQR逆最优问题可以解出Q,R,其中:

文献[26]中因为方程(52)的求解,不可转化为利用LMI求解的标准形式,所以利用Schur补引理将式(55)变为标准LMI形式,进行如下变形:

然后通过式(56),就可以解出式(52)中的R和P.

同理可得,

对条件(54),利用Schur补引理将式(54),转变为标准LMI形式,变形得到

保证(A+∆A,Q)可测.

通过以上步骤,LQR逆最优问题转化为LMI形式,即∃P≥0,Q≥0,R>0,P1>0和对称矩阵T1,T2以下优化问题

矩阵Q可通过式(52)来求解. 证毕.

3.3 MPC自愈步骤

对于一个MPC控制器,从根据ISE-TSV指标的性能监测及评价,到调节MPC控制器参数,整个工作过程如下图1所示.

图1 MPC控制器性能自愈流程图Fig.1 MPC controller performance self-healing flowchart

4 实验研究

使用直线二级倒立摆来进行仿真与实验研究,本文实验研究使用的倒立摆装置是固高公司的GIP-100-L系列直线二级倒立摆[27].

它是状态为6维的单输入三输出系统,倒立摆模型结构如图2所示.

图2 直线二级倒立摆模型Fig.2 Linear double inverted pendulum model

倒立摆参数定义如下:小车质量M=1.096 kg,摆杆1的质量m1=0.05 kg,摆杆2的质量m2=0.13 kg,质量块的质量m3=0.236 kg,摆杆1中心到转动中心的距离l1=0.0775 m,摆杆2中心到转动中心的距离l2=0.25 m,θ1为摆杆1与竖直方向的夹角,θ2为摆杆2与竖直方向的夹角,F为作用在系统上的外力,x为小车的位置.

通过对直线二级倒立摆系统进行受力以及运动分析[27],并进行线性化可以得到如下状态空间表达式:

其中:u为系统的输入外力F,x,θ定义同前.在上式(59)中,a1=86.69,a2=−21.62,a3=−40.31,a4=39.45,b1=1,b2=6.64,b3=−0.088.

求解得系统特征根为(−10.0438−5.0262 10.0438 5.0262 0 0),出现了正根和零根,系统不稳定.用MATLAB编程得到系统为完全能控系统和完全能观系统.

根据主导极点原则,选择所需的配置后的极点

在MATLAB中输入矩阵A,B的值,矩阵A,B分别是式(59)中的第1个式子的两个矩阵,然后使用了K=acker(A,B,P),得到反馈镇定律

由于本文研究的是MPC自愈的问题,需要人为构造使控制器性能下降的情况.假设直线二级倒立摆装置在运行一段时间后其部分参数发生变化.在装置运行初期,

为了人为构造模型失配的情况,假设l2=0.24,m2=0.1152.

此时,二级倒立摆装置的模型变为

利用特征值进行稳定性判断,发现该系统不稳定,利用上述反馈增益K,此时稳定后的对象为

4.1 MPC自愈参数

针对上述极点配置后的直线二级倒立摆装置,利用标称模型(61)来计算MPC控制器运行时加权参数Q,R.然后对l2=0.24,m2=0.1152的失配模型进行性能评价,然后根据ISE-TSV指标具有MPC逆最优特性得到失配后的自愈加权参数Q,R.

针对系统(61),选取输出方差上限=0.3,输入方差上限u¯=0.8,以及扰动方差Σw=0.01,通过编程可以得到MPC控制器参数R=0.0192,

把此参数用作控制器初始投运参数,将此参数下获得的控制器性能当作标称性能[28].

将MPC控制器中的对象模型人为构造失配,使用ISE-TSV性能评价方法评价并监测控制器性能,当控制器性能降低到一定程度,在存在输入输出的方差约束及扰动方差的情况下,在ISE-TSV指标中,选取具有更强鲁棒性的目标函数,更新MPC控制器参数Q,R,从而提高MPC 控制器的鲁棒性.得到自愈后的MPC控制器的加权参数为R=0.0253,

把自愈后的MPC参数投运,发现性能得到恢复.

通过MATLAB编程发现,当控制器性能下降在0.35%到0.36%之间时,MPC控制器参数R的调节范围变化在0.0058到0.0137之间,Q的变化在

之间.

4.2 基于ISE-TSV的性能评价及自愈仿真

设计一个满足目标函数(14)的MPC控制器(37),仿真回路如图3所示.

图3 MPC控制器仿真模型Fig.3 MPC controller simulation model

在以上Simulink搭建的MPC控制器中,采用初始标称模型及初始MPC控制器参数,失配后的模型及初始MPC控制器参数,失配模型及自愈后的MPC控制器参数分别进行实验.将得到的数据使用MATLAB进行编程,得到如下图4的自愈前后曲线.

图4中,good,bad,tuned分别表示了仿真模型失配前、失配后、自愈后的曲线,然后angle 1,angle 2,pos分别代表了摆杆1的角度、摆杆2的角度、小车的位移.

从图4可以看出,当模型失配后,仍然使用初始控制器参数将会造成输出偏差增大,利用ISE-TSV自愈方法调整控制器参数后,减小了偏差,更接近失配之前的控制精度,并且控制器性能恢复到一定程度,这种自愈算法是可行且有效的.

图4 自愈前后对比曲线Fig.4 Comparison curve before and after self-healing

利用ISE-TSV性能评价指标作为评价基准,可以得到系统的ISE-TSV性能评价[29]曲线如图5,可以明显看出系统的性能在进行自愈后得到一定程度的恢复,此自愈算法可行有效.

图5 ISE-TSV性能评价trade-off曲线Fig.5 ISE-TSV performance evaluation trade-off curve

利用ISE-TSV性能评价指标,计算3种情况下的性能指标.选择ρ=1时为基准点,此时

其中:Jgood,Jbad,Jtuned分别表示了系统在good,bad,tuned时的稳态偏差,η1,η2,η3表示相对应的性能指标.

由此可以看出,在模型准确时,使用设计好的控制器,控制器性能达到要求;当模型失配,控制器性能就会下降;根据指标要求,调节控制器参数后,控制器性能得到一定的恢复.

4.3 实际运行

使用固高直线二级倒立摆装置MATLAB实时控制平台建立了如图6的时控模型.MPC控制器参数设置为根据初始标称模型(61)获得的参数[30].

依次使用初始标称模型及初始MPC控制器参数,失配模型及初始MPC控制器参数,失配模型及自愈后的MPC控制器参数运行,获取3种情况下的数据.

按照自愈流程调节控制器参数,对输入u限幅滤波[31],可以得到如图7.

通过MATLAB编程来计算自愈前后控制器输入与输出的稳态方差,并且得到自愈前后稳态方差的对比的柱状图如图8,可以看出系统性能有一定恢复,此自愈算法有效.

5 结论

本文一种提出了基于ISE-TSV指标的模型预测控制器的性能评估和自愈方法.首先,使用累积平方误差(ISE)和总平方波动(TSV)指标来评估模型预测控制器的性能.然后,提出了一种基于无限时域MPC逆最优特性的MPC控制器参数鲁棒自愈方法,以提高控制器的在线鲁棒性.并且考虑被控对象含有不确定项的情况,当模型失配的范围在一个区间时,用自愈算法更新控制器的参数,这样得到的参数使得优化的控制器鲁棒性[32]更好.

直线二级倒立摆装置的仿真与实验结果证明了该方法真实可行有效.

图6 直线二级倒立摆装置MPC控制回路Fig.6 Linear secondary inverted pendulum device MPC control loop

图7 MPC控制器自愈运行曲线Fig.7 MPC controller self-healing operation curve

图8 稳态方差对比柱状图Fig.8 Histogram of steady-state variance before and after self-healing