全概率公式对后继试验的限制

王佳祺

(山西省临汾市山西师范大学现代文理学院 041000)

全概率公式是概率论中常用且重要的公式，对样本点的判断及对概率的计算一直是概率论中的难点，全概率公式通过简单易知的概率计算复杂的概率，化繁为简，大大降低了判断与计算的难度.然而在使用时应当注意，全概率公式不仅要求确定先行试验的完备事件组，对后继试验也存在限制，下面将以一道例题的两种解法为引，对全概率公式的这种限制进行详细的说明.

一、全概率公式及相关定理

定义1设有样本空间Ω及其随机试验E，空间内有随机事件A1,A2,…,An,如若满足下列条件：

(1)Ai∩Aj=∅(i≠j);

(2)A1∪A2∪…∪An=Ω.

则A1,A2,…,An对样本空间进行了分割，并称为样本空间的完备事件组.

为方便论述，称事件A条件下的事件B即(B|A)为条件事件.

定理1 全概率公式.设有样本空间Ω的完备事件组A1,A2,…,An，其中P(Ai)>0(i=1，2，…，n)，B为任意事件，则

①

我们称事件Ai所对应的试验为先行试验，事件B所对应的试验为后继试验，全概率公式就是通过先行试验的概率计算后继试验的概率，证明这里不再论述.

二、全概率公式对后继试验的限制

下面请看这样一道例题以及它的两种解法：

例有三个一模一样的抽屉，每个抽屉中分别装有球的个数为10个、20个、25个，每个抽屉中有红球和白球，球只有颜色不同，其中红球个数分别为4个、10个、15个.先随机选取一个抽屉，再从抽屉中依次摸两个球.求在第一次摸到红球的条件下，第二次还是摸到红球的概率.

解法1记Ai={选中第i个抽屉}，i=1，2，3，C={第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球}.

由全概率公式得

P(C)=P(A1)P(C|A1)+P(A2)P(C|A2)

+P(A3)P(C|A3)

②

解法2记Ai={选中第i个抽屉}，i=1，2，3，Bj={第j次摸到红球}，j=1,2.

由全概率公式得

P(B1)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B1|A2)

+P(A3)P(B1|A3)

由全概率公式得

P(B1B2)=P(A1)P(B1B2|A1)+P(A2)P(B1B2|A2)+P(A3)P(B1B2|A3)

由条件概率公式得

其中解法1是同济版概率论习题全解中用到的方法.两种方法同样是运用条件概率和全概率公式解题，然而却得到不同的结果，这是为什么呢？其实解法1是存在问题的，它隐含了一个公式：P(C|Ai)=P((B2|B1)|Ai)=P(B2|AiB1)，这并非定理，只是人们从理解上约定俗成的公式，而解法1在计算时用到了这一公式.虽然②形式上它是符合全概率公式的，可是我们换种方式就可以发现这种问题了.

我们也可以通过文氏图观察这个问题:

图1

综上，全概率公式中后继试验所对应的事件B不能是条件事件，或者说在P(B)为条件概率时全概率公式不成立，须直接应用条件概率公式解题，全概率公式只可间接应用于非条件事件.

当定义后继试验的事件B为某一条件下的事件时，不可使用全概率公式，这一点我们用例题中的方法对全概率公式两端计算即可得知，这里不再赘述.最本质的原因在于：若P(B)=P(B2|B1)，我们计算时通常认为P(B|A)=P(B2|AB1)，而条件事件的运算并没有被定义，这个公式用于计算时就会发生错误，造成全概率公式两端不相等.所以，我们在解题时应当注意只把条件事件用于条件概率，避免形式正确而实质错误的情况.