40阶群和56阶群的同构分类

2021-02-02 08:50李德乐曹慧芹
关键词:同态同构定理

李德乐,曹慧芹

(1.福建水利电力职业技术学院公共基础部,福建永安366000;2.厦门大学数学科学学院,福建厦门361005)

设G是40阶群,即是23×5阶群.张远达[1]和徐明曜[2]已经分析了40阶群的构造,但是群的构造比较抽象[1,3],缺乏具体构造方法.本文将继续沿着文献[4]的思路,运用文献[5]的方法,利用Sylow定理,构造G的14种同构类型的群(同构意义下,同构群视为一类群).

对于40阶群,根据Sylow定理,容易看出Sylow 5-子群是正规子群.本文将证明如下定理:

定理1设G是40阶群,P∈Syl2(G),Q∈Syl5(G).G有14种同构类型:(i)P◁G,则G有5种同构类型,见表1中序号1~5所对应的群;(ii)P◁G,则G有9种同构类型,见表1中序号6~14所对应的群.进而应用定理1的方法同理构造了13种56阶群的同构类型.

1 预备知识

在证明定理1之前需要下面一些基本结论:

证明参见文献[5]中定理1的证明.

推论1在引理1的条件和符号下,所有可能的半直积同构类个数恰好等于Ω的Γ-轨道个数.

证明参见文献[5]中推论1的证明.

引理2(Sylow定理)设G是有限群,p是素数且pn‖|G|(即pn||G|但pn+1

|

|G|),则

(i)G必有pn阶子群(称为G的Sylowp-子群).

(ii)G的任意Sylowp-子群皆在G中共轭.

(iii)G的任意Sylowp-子群的个数np是G的因子,且np≡1(modp).

证明具体参考文献[2]证明.

2 定理1的证明

设G是40=23×5阶群,则G必是可解群.设P∈Syl2(G),Q∈Syl5(G),根据Sylow定理,可得Q◁G.下面只考虑P◁G或P◁G两种情况.P同构于8阶群的5种不同类型:

(i) 循环群C8,(ii) 交换群C4×2,即(4,2)-型交换群,(iii) 初等交换群K8,(iv) 二面体群D8,(v) 四元数群Q8,且Q=C5是5阶循环群.

情形1:当P◁G,Q◁G时,则G有5种同构类型:

1)G=〈a,b|a5=b8=1,[a,b]=1〉(循环群),

表1 40阶群的生成关系表Tab.1 Generating relation table of groups of order 40

2)G=〈a,b,c|a5=b4=c2=1,[a,b]=[b,c]=[c,a]=1〉(交换群),

3)G=〈a,b,c,d|a5=b2=c2=d2=1,[a,b]=[b,c]=[c,d]=[d,a]=1〉(交换群),

4)G=〈a,b,c|a5=b4=c2=1,c-1bc=b-1,[a,b]=[a,c]=1〉(C5×D8),

5)G=〈a,b,c|a5=b4=1,b2=c2,bc=cb-1,[a,b]=[a,c]=1〉(C5×Q8),

其中a∈Q,b、c、d∈P.

G的结构由P完全决定.令Q=〈a〉=C5,P是8阶群,有5种不同的结构.当P依次取遍8阶群5种不同的结构,相应地可得到G的结构,类型1),2),3)是交换群,类型4),5)是非交换群.

情形2:当P◁G,Q◁G时,则G有9种同构类型,即

6)G=〈a,b|a5=b8=1,b-1ab=a-1〉,

7)G=〈a,b|a5=b8=1,b-1ab=a2〉,

8)G=〈a,b,c|a5=b4=c2=1,bc=cb,b-1ab=a2,ac=ca〉,

9)G=〈a,b,c|a5=b4=c2=1,bc=cb,c-1ac=a-1,ab=ba〉,

10)G=〈ab,bc|a5=b4=c2=1,ac=ca,b-1ab=a-1,bc=cb〉,

11)G=〈a,b,c,d|a5=b2=c2=d2=1,[b,c]=[c,d]=[d,b]=1,b-1ab=a-1,[a,c]=[a,d]=1〉,

12)G=〈ab,c|a5=b4=c2=1,c-1bc=b-1,ab=ba,c-1ac=a-1〉,

13)G=〈a,b,c|a5=b4=c2=1,c-1bc=b-1,b-1ab=a-1,ca=ac〉,

14)G=〈ab2,c,b2|a5=b4=1,b2=c2,c-1bc=b-1,ab=ba,c-1ac=a-1〉.

因为Q◁G,根据N/C定理可知G/CG(Q)≤Aut(Q)≅C4,又Q◁CG(Q),于是(G/Q)/(CG(Q)/Q)≅P/CG(Q)∩P≤C4,所以P在Q上作用核是2,4或8阶群.

考虑同态φ:P→Aut(Q),设P在Q上作用核K=CG(Q)∩P,当K是8阶群时,得到G是幂零群,即P◁G,Q◁G,回归到情形1讨论.故只考虑核K是2或4阶群的情形.根据引理1 和推论1,可知作用核是循环群(2阶或4阶)的所有作用都在一个Γ-轨道里,作用核是非循环群(4阶)的所有作用也都在一个Γ-轨道里,其中Γ=Aut(P)×Aut(Q),因而上述作用最多是3个轨道.设P中元素作用在Q上的非平凡作用就是取平方、取三次方、取逆(即取四次方).下面围绕P同构于8阶群的5种不同类型进行讨论:

(i) 当P=〈b|b8=1〉是循环群时,因为K的阶为2或4,所以K的生成元只有两种不同情况:〈b2〉,〈b4〉.

当K=〈b2〉时,K是4阶循环群,此时b(b∈P且b∉K)诱导Q的自同构是2阶,即ab=b-1ab≠a且ab2=a.设ar=ab(2≤r≤4),则ab2=(ar)b=ar2=a,即r2≡1(mod5),解得r=4,因此ab=a4=a-1.P中元素b导出Q的求逆自同构满足ab=b-1ab=a-1,得到上述结构6).

当K=〈b4〉时,K是2阶群,此时b(b∈P且b∉K)诱导Q的自同构是4阶,即ab=b-1ab≠a,且ab4=a.设ar=ab(2≤r≤4),则ab2=(ar)b=ar2≠a,ab3=ar3≠a,ab4=ar4=a可得r4≡1(mod5),解得r=2,3.即

当b在a上的作用是取平方时,

ab=a2,(a2)b=a4,(a4)b=a8=a3,(a3)b=

a6=a.

当b在a上的作用是取三次方时,ab=a3,(a3)b=a9=a4,(a4)b=a12=a2,(a2)b=a6=a.

由此可见取三次方与取平方互为逆作用,二者作用效果实质相同,所以只需取平方和三次方两者中的一种情形即可.当K=〈b4〉时,不妨令b取求平方自同构,即b-1ab=a2,从而得到上述结构7).

综上所述,此时G有两种不同类型的群:

根据(i)中计算可知:当K是2阶群时,则元素b(b∈P且b∉K)中诱导Q的自同构是4阶,此时b诱导Q取平方自同构;当K是4阶群时,则b(b∈P且b∉K)中诱导Q的自同构是2阶,此时b诱导Q取逆自同构.

(ii) 当P=〈b,c|b4=c2=1,bc=cb〉是(4,2)-型交换群时,因为K的阶为2或4,所以K的生成元只有3种不同情况:〈b〉,〈c〉,〈b2,c〉.

当K=〈c〉时,K是2阶群,得到元素b(b∈P且b∉K)引起Q自同构为取平方,即b-1ab=a2.记GA(1,5)=〈a,b|a5=b4=1,b-1ab=a2〉为5元域上的一维的一般仿射群,可得:G=GA(1,5)×C2,从而得到上述结构8).

当K=〈b〉时,K是4阶循环群,由元素c(c∈P且c∉K)引起求逆自同构,于是有c-1ac=a-1,即G=D10×C4,得到上述结构9).

当K=〈b2,c〉时,K是4阶初等交换群.根据元素b∈P,b∉K但是b2∈K,可得ab≠a且ab2=a.设ar=ab(2≤r≤4),则ab2=(ar)b=ar2=a,即r2≡1(mod5),解得r=4,因此ab=a4=a-1,所以此时P中元素b导出Q的求逆自同构满足ab=b-1ab=a-1.令x=ab,y=bc,G=〈x,y|x20=1,x10=y2,y-1xy=x-1〉=Q40,得到上述结构10).

综上所述,此时G有3种不同类型的群:

根据(ii)中计算,可得当K是4阶初等交换群,此时元素b∈P,b∉K且b2∈K,并且b诱导Q的求逆自同构.

(iii) 当P=〈b,c,d|b2=c2=d2=1,[b,c]=[c,d]=[d,b]=1〉是初等交换群时,由于P中无4阶元,因此同态映射P→Aut(Q)≅C4不可能是满同态,所以K的生成元只有一种情况:〈c,d〉.当K=〈c,d〉时,K是4阶初等交换群,此时元素b(b∈P且b∉K)诱导Q的自同构是2阶,即ab=b-1ab≠a且ab2=a.设ar=ab(2≤r≤4),则ab2=(ar)b=ar2=a,即r2≡1(mod5),解得r=4,因此ab=a4=a-1,所以P中元素b导出Q的求逆自同构满足ab=b-1ab=a-1,于是有b-1ab=a-1,即

G=〈a,b,c,d|a5=b2=c2=d2=1,[b,c]=

[c,d]=[d,b]=1,b-1ab=a-1,[a,c]=

[a,d]=1〉=D10×K4,

从而得到上述结构11).

(iv) 当P=〈b,c|b4=c2=1,c-1bc=b-1〉是二面体群结构时,由于同态映射P→Aut(Q)≅C4不可能是满同态,否则C4≅P/Z(P),得到P是交换群,与P是二面体群相矛盾,故K的生成元可有两种不同情况:〈b〉,〈b2,c〉.

当K=〈b〉时,K是4阶循环群,由元素c(c∈P且c∉K)引起求逆自同构,于是有c-1ac=a-1,令x=ab,y=c,则G=〈x,y|x20=y2=1,y-1xy=x-1〉=D40,得到上述结构12).

当K=〈b2,c〉时,K是4阶初等交换群,由b引起求逆自同构,于是有b-1ab=a-1,得到上述结构13).

综上所述,此时G有两种不同类型的群:

(v) 当P=〈b,c|b4=1,b2=c2,c-1bc=b-1〉是广义四元数群时,P中有唯一的2阶元,所以核K不能是4阶初等交换群.由于同态映射P→Aut(Q)≅C4不可能是满同态,否则C4≅P/Z(P),得到P是交换群,与P是四元数群相矛盾,故K的生成元只有一种情况:〈b〉.当K=〈b〉时,K必是4阶循环群,由c(c∈P且c∉K)引起Q求逆自同构,于是有c-1ac=a-1.令x=ab2,y=c,z=b2,则G=〈x,y,z|x10=y2=z2=1,x5=y2,y-1xy=x-1,zx=xz,zy=yz〉=Q20×C2,得到G=〈ab2,c,b2|a5=b4=1,b2=c2,c-1bc=b-1,ab=ba,c-1ac=a-1〉=Q20×C2,

即上述结构14).定理1证毕.

3 应 用

利用上述的理论,很容易构造56群的13种同构类型.由Sylow定理可知:56阶群不可能是单群.设G是56阶群,即是23×7阶群,也是可解群,并设P∈Syl2(G),Q∈Syl7(G),要分成(i)P◁G,Q◁G;(ii)P◁G,Q◁G;(iii)P◁G,Q◁G3种情况加以讨论.设Q=〈a〉=C7.

情形1:当P◁G,Q◁G时,则G有5种同构类型:

15)G=〈a,b|a7=b8=1,[a,b]=1〉(循环群),

16)G=〈a,b,c|a7=b4=c2=1,[a,b]=[b,c]=[c,a]=1〉(交换群),

17)G=〈a,b,c,d|a7=b2=c2=d2=1,[a,b]=[b,c]=[c,d]=[d,a]=1〉(交换群),

18)G=〈a,b,c|a7=b4=c2=1,bc=cb-1,[a,b]=[a,c]=1〉(C7×D8),

19)G=〈a,b,c|a7=b4=1,b2=c2,bc=cb-1,[a,b]=[a,c]=1〉(C7×Q8),

因为P◁G,Q◁G,G的结构由P完全决定.P是8阶群,有5种不同的结构.当P依次取遍8阶群5种不同的结构,相应地可得到G的结构,类型15),16),17)是交换群,类型18),19)是非交换群.

情形2:当P◁G,Q◁G时,则G有7种不同构类型:

21)G=〈ab,bc|a7=b4=c2=1,bc=cb,ba=ab,c-1ac=a-1〉=Q56,

22)G=〈a,b,c|a7=b4=c2=1,bc=cb,b-1ab=a-1,ca=ac〉=D28×C2,

23)G=〈a,b,c,d|a7=b2=c2=d2=1,[b,c]=[c,d]=[d,b]=1,b-1ab=a-1,[a,c]=[a,d]=1〉=D14×K4,

24)G=〈ab,c|a7=b4=c2=1,c-1bc=b-1,ba=ab,c-1ac=a-1〉=D56,

25)G=〈a,b,c|a7=b4=c2=1,c-1bc=b-1,b-1ab=a,ca=ac〉,

26)G=〈ab2,c,b2|a7=b4=c2=1,c-1bc=b-1,ab=ba,c-1ac=a〉.

因为Q◁G,根据N/C定理可知:G/CG(Q)≤Aut(Q)=Aut(C7)≅C6,考虑到P作用Q上的是非平凡作用,因为Q◁CG(Q),所以P在Q上作用核只能是4阶群.设P在Q上作用核K=CG(Q)∩P,根据引理1和推论1,可知要构造G的关系就是确定作用核K和P中诱导Q的求逆自同构的元素.

(b) 当P=〈b,c|b4=c2=1,bc=cb〉是(4,2)型交换群时,因为K的阶为4,所以K的生成元只有两种不同情况:〈b〉,〈b2,c〉.

当K=〈b〉时,K是4阶循环群.根据c(c∈P且c∉K)诱导Q的自同构是2阶,即c(c∈P且c∉K)引起求逆自同构,于是有c-1ac=a-1.令x=ab,y=bc,则G=〈x,y|x28=1,x14=y2,y-1xy=x-1〉=Q56,得到上述结构21).

当K=〈b2,c〉时,K是4阶初等交换群.因为b∈P,b∉K且b2∈K,所以b引起求逆自同构,可取b-1ab=a-1,即G=D28×C2,得到上述结构22).

综上所述,此时G有两种不同类型的群:

(c) 当P=〈b,c,d|b2=c2=d2=1,[b,c]=[c,d]=[d,b]=1〉是初等交换群时,因为K是4阶初等交换群,则K=〈c,d〉,此时元素b(b∈P且b∉K)诱导Q的自同构是2阶,即ab=b-1ab≠a且ab2=a.设ar=ab(2≤r≤6),则ab2=(ar)b=ar2=a,即r2≡1(mod7),解得r=6,即ab=a6=a-1.P中元素b导出Q的求逆自同构,即ab=b-1ab=a-1,即G=〈a,b,c,d|a7=b2=c2=d2=1,[b,c]=[c,d]=[d,b]=1,b-1ab=a-1,[a,c]=[a,d]=1〉=D14×K4,

得到上述结构23).

(d) 当P=〈b,c|b4=c2=1,c-1bc=b-1〉是二面体群结构时,K的生成元可有两种不同情况:〈b〉,〈b2,c〉.

当K=〈b〉时,K是4阶循环群.元素c(c∈P且c∉K)引起Q求逆自同构,于是有c-1ac=a-1.令x=ab,y=c,则G=〈x,y|x28=y2=1,y-1xy=x-1〉=D56,得到上述结构24).

当K=〈b2,c〉时,K是4阶初等交换群.因为b∈P,b∉K且b2∈K,所以由b引起求逆自同构,于是有b-1ab=a-1,得到上述结构25).

综上所述,此时G有两种不同类型的群:

(e) 当P=〈b,c|b4=1,b2=c2,c-1bc=b-1〉是四元数群时,P中有唯一的2阶元,因此K不能是4阶初等交换群,此时K的生成元只有一种情况:〈b〉.即K=〈b〉必是4阶循环群,由c(c∈P且c∉K)引起Q求逆自同构,于是有c-1ac=a-1.令x=ab2,y=c,z=b2,则G=〈x,y,z|x14=y2=z2=1,x7=y2,y-1xy=x-1,zx=xz,zy=yz〉=Q28×C2,得到G=〈ab2,c,b2|a7=b4=1,b2=c2,c-1bc=b-1,ab=ba,c-1ac=a-1〉=Q28×C2,即上述结构26).

情形3:当P◁G,Q◁G时,则G有一种不同构类型:

27)G=〈a,b,c,d|a7=b2=c2=d2=1,[b,c]=[c,d]=[d,b]=1,a-1ba=d-1,a-1ca=bd-1,a-1da=c〉.

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