Volterra型算子在导数Hardy空间上的紧性及谱

林庆泽

（中山大学 数学学院，广东 广州 510275）

用H(Δ)表示复平面单位圆盘Δ:={z:|z|＜1}上所有解析函数f所组成的函数空间。当1 ≤p＜∞时，用Hp表示复平面单位圆盘Δ上所有满足

当g(z)≡z时，左边的广义积分算子就成为经典Volterra积分算子Tz，这个广义积分算子是在积分方程的研究过程中引进的一个非常重要的线性算子。Pommerenke在70年代左右研究BMOA函数的增长性时首次引进了本文所要研究的一般型的算子Tg，同时证明了Tg算子在H2空间上是有界的当且仅当g∈BMOA，即g是Δ上的具有有界均值振荡的解析函数[2]。在Pommerenke的工作的基础上，Aleman等人将其结论推广至覆盖0 ＜p＜∞范围的Hardy 空间Hp(0 ＜p＜∞)以及Bergman 空间Ap(0 ＜p＜∞)上，同时考虑了紧性等相关的一些问题[3-5]。之后，关于Tg和Sg算子的有界性和紧性等问题的研究一直是算子理论与复分析交叉方向的一个非常重要的研究内容，其中，文献[6]在深入地研究了新型Qp函数空间上的Carleson测度问题的同时，刻画了该空间上的Tg算子的有界性等一些相关的基本性质，是一件非常值得注意的研究工作。

1 Volterra型算子在导数Hardy空间上的紧性

由泛函分析中的基本定义[9]可知，线性算子T从Banach 空间X到Banach 空间Y上是有界的当且仅当对于Banach空间X中的任一有界集E，T(E)⊂Y也是一个有界集，此时，记T∈B(X→Y)；另一方面，线性算子T从Banach空间X到Banach空间Y上是紧的当且仅当对于Banach空间X中的任一有界集E，T(E)⊂Y在空间Y内的闭包是紧的，同样地，记X到Y上的所有紧算子的集合为B0(X→Y)。

引理1[8]若1 ≤p＜∞，Tg∈B(Sp→Sp)当且仅当g∈Sp。

引理2[8]若1 ≤p＜∞，Sg∈B(Sp→Sp)当且仅当g∈H∞。

定理1 若1 ≤p＜∞，Tg∈B0(Sp→Sp)当且仅当g∈Sp。

证明 若g∈Sp，则由引理1 可知，Tg∈B(Sp→Sp)。 因为g∈Sp，所以g'∈Hp，根据文献[7]可知Mg':Sp→Hp是紧的。由于Tz是Hp空间到Sp空间上的有界线性算子且Tg=TzMg'，因此Tg∈B0(Sp→Sp)。

反过来，若Tg∈B0(Sp→Sp)，则Tg∈B(Sp→Sp)，因此由引理1可知g∈Sp，证毕。

由引理1和定理1可知，当1 ≤p＜∞时，Tg∈B(Sp→Sp)与Tg∈B0(Sp→Sp)是等价的。

定理2 若1 ≤p＜∞，则Sg∈B0(Sp→Sp)当且仅当g= 0。

故g= 0，证毕。

2 Volterra型算子在导数Hardy空间上的谱

这一节主要刻画Volterra型算子在导数Hardy空间上的谱，关于谱的相关基本知识可参考文献[9]。

定理3 令1 ≤p＜∞，若Tg∈B(Sp→Sp)，则Tg的谱是σ(Tg)={0}。

证明 由引理1和定理1可知，Tg∈B(Sp→Sp)与Tg∈B0(Sp→Sp)是等价的，由Tg的定义可知，Tg不存在非零的特征值，因此由紧算子的谱定理[9]可知，σ(Tg)={0}，证毕。