亥姆霍兹线圈磁场均匀范围的研究

莫云飞，周群益，侯兆阳，周丽丽

(1. 长沙学院 电子信息与电气工程学院，湖南 长沙 410022；2. 广东技术师范大学 天河学院，广东 广州 510540；3. 长安大学 理学院应用物理系，陕西 西安 710064；4. 赣南医学院 信息工程学院，江西 赣州 341000)

有文献讨论了亥姆霍兹线圈均匀磁场区，做了一项有意义的工作[1]．可是，文献作者使用计算器，效率低，范围小，精度较差．文献作者通过粗略计算后认为：均匀区域呈椭圆形状．本文作者通过精细作图发现并不是这个结果．当双环电流之间的距离发生改变时，磁场的均匀区域也发生了改变．

1 共轴双环电流的磁场

如图1所示，取x轴为纵轴，取z轴为横轴，两环共z轴．设两个圆环的半径为a，通有同方向的电流I，两环之间的距离为2L．

图1 共轴双环电流的场强

根据通电圆环产生的磁感应强度的公式[2,3]，右环O1在场点P产生的磁感应强度的两个分量分别为

(1)

(2)

(3)

左环O2产生的磁感应强度的两个分量分别是:

(4)

(5)

两个线圈叠加的磁感应强度的两个分量分别为:

Bx(x,z)=B1x(x,z) +B2x(x,z)

Bz(x,z)=B1z(x,z) +B2z(x,z)

(6)

合场强为

(7)

当x=0时，可得

Bx(0,z)=0

(8)

这是轴线上的磁感应强度，只有轴向分量．当z=0时，可得原点的磁感应强度:

(9)

磁感应强度曲面在原点处是一个鞍点，大小用BS表示．显然，两环距离越大，BS越小．

(10)

其中，B0=μ0I/2a是一个环电流在环心产生的磁感应强度．

取半径a为长度单位，取B0=μ0I/2a为磁感应强度单位，可以将公式无量纲化，以便于画出合场强的曲面和均匀范围[4]．

2 磁场的均匀范围

设|B-BS| ≤ 0.01BS为双环电流的均匀范围，即0.99BS≤B≤ 1.01BS．

1) 当L=a/2时，BS=BC，亥姆霍兹线圈场强的曲面和均匀范围如图2所示．B=1.01BC的四条等高线分别包围了4个峰，四条曲线并不连接；B=BC的等高线恰好包围了4个峰，四条曲线都经过鞍点而连接起来；B=0.99BC的等高线是一条曲线，同时包围了4个峰，曲线如同“X”形状．同时包围4个峰的曲线和分别包围4个峰的曲线之间的区域就是亥姆霍兹线圈磁场的均匀范围，其俯视图如图3所示，均匀范围呈“八爪”形状．

图2 亥姆霍兹线圈的合场强(L=0.5a)

图3 亥姆霍兹线圈磁场的均匀范围(L=0.5a)

2) 当L=0.4a时，两环距离比较近，双环电流的场强曲面和均匀范围如图4所示．B=1.01BS的两条等高线分别包围了上面的两个峰和下面的两个峰，两条曲线并不连接；B=0.99BS的等高线是一条曲线，同时包围了4个峰；B=BS的等高线经过鞍点，恰好包围了上下两对峰．B=0.99BS的等高线与B=1.01BS的等高线所包围的范围是双环电流磁场的均匀范围，其俯视图如图5所示，均匀范围呈“四爪细腰”形状，鞍点的场强增加了，但是均强磁场的区域变小了．

图4 双环电流的合场强(L=0.4a)

图5 双环电流磁场的均匀范围(L=0.4a)

3) 当L=0.6a时，两环距离比较远，双环电流的场强曲面和均匀范围如图6所示．B=1.01BS的两条等高线分别包围了左边的两个峰和右边的两个峰，两条曲线并不连接；B=0.99BS的等高线是一条曲线，同时包围了4个峰；B=BS的等高线经过鞍点，恰好包围了左右两对峰．B=0.99BS的等高线与B=1.01BS的等高线所包围的区域是双环电流磁场的均匀范围，其俯视图如图7所示，均匀范围呈“四爪凹凸”形状，鞍点的场强减小了，均强磁场的区域也变小了．

图6 双环电流的合场强(L=0.6a)

图7 双环电流磁场的均匀范围(L=0.6a)

3 结束语

通过计算和精细作图，发现亥姆霍兹线圈磁场的均匀区域是“八爪”形状而不是椭圆形状，改变了已有的结论．不论双环之间的距离是增加还是减小，磁场的均匀区域的形状都会发生改变，大小都会变小．这种研究电磁场均匀区域的方法具有通用性．对于带有等量异号的双环电荷，用这种方法研究其电场，也可以发现类似的现象．