一类收敛的带无限次叠套的数学式子及其探讨

陈宏健

【摘要】本文探讨一类带有无限次叠套运算的算式，类似于yn=n1+n1+n1+n1+…（n=2，3，4……） 的带有无限次叠套运算的算式，验证其收敛性，并在收敛的条件下转化为有限次叠套数列yn1=1，yn2=n1+n1，yn3=n1+n1+n1，…，ynk=n1+n1+n1+…+n1的极限，通过分析简单情形，归纳推导出一般情形，并且寻找解法，尝试将解决方法推广到其他无限次叠套运算中.

【关键词】无限次叠套;有限次叠套;收敛;有界单调递增数列

一、引言

数的叠套运算常见于实数的无限次重复运算中，其特征为每一步的运算又叠套在下一步的运算当中，层层叠套，直至无穷.例如初等数学中的无限连分数，高等数学中有关特定函数与极限、级数的问题，以及几何图形中的分形图，其中都有与无限次叠套运算相关的例子.

二、概念与记号

定义1带有无限次叠套运算的算式（n=2，3，4，……）

yn=n1+n1+n1+n1+…，

则有y2=1+1+1+…，

y3=31+31+31+…，

y4=41+41+41+41+…，

…，

yn=n1+n1+n1+n1+….

定义2假设k为有限次叠套次数，

则ynk=n1+n1+n1+…+n1k个 可取：

yn1=1，

yn2=n1+n1，

yn3=n1+n1+n1，

以此類推得出k次叠套数列：

ynk=n1+n1+n1+…+n1k个.

定义3当有限次叠套式ynk的极限存在时，无限次叠套式yn为有限次叠套式ynk的极限.

即当ynk的极限存在时ynk→yn（n→+∞）.

反之，当有限次叠套式ynk的极限不存在时，无限次叠套式yn发散.

定理1 当k→+∞时，有限次叠套数列

ynk=n1+n1+n1+…+n1k个 的极限存在.

这个证明分两部分：

（1）当k增加时，ynk为单调递增数列

（2）ynk为有界数列  （k=1，2，3……）.

证明（1）当n=1时，n1<n1+n1，

即yn1<yn2.

假设n=k时，ynk<ynk+1，

则当n=k+1时，n1+ynk<n1+ynk+1，

n1+n1+n1+…+n1k+1个<n1+n1+n1+…+n1k+2个

则  ynk+1<ynk+2.

由数学归纳法得ynk为单调递增数列，

即yn1<yn2<yn3<…<ynk（n=2，3，4……）.

（2）依据开方运算性质易知

nx<n-1x<…<x（x>0）.

则对任意的t（t=2，3，4，…，n-1），有

t+11+t+11+t+11+…+t+11k个<t1+t1+t1+…+t1k个，

即y（t+1）k<ytk，

1<ynk<y（n-1）k<y（n-2）k<…<y3k<y2k.

由于1+1<3，

1+1+1<1+3<3，

1+1+1+1<1+3<3，

以此类推，

有y2k=1+1+…+1< 1+3<3，

则1<ynk<3（n=2，3，4……）.

即 y2k，y3k，…，ynk当中的每个数列均为有界单调递增数列.

根据有界单调递增数列极限存在定理有

limk→∞=yn.

定理2当n→+∞时有限次叠套式ynk的极限为1.

证明1<yk<3（n=2，3，4……），

ynk=n1+yn（k-1），

则1<n1+yn（k-1）<n4，

1<ynk<n4，

limn→+∞n4=1，

由夹值法有limn→+∞ynk=1（k=1，2，3……）.

三、有限次叠套式ynk的简单情形

当n=2时，y2=1+1+1+…，

y2k有极限，

则 y2=1+y2，

y22=y2+1，

则 y22-y2-1=0（y2>0），

解得y2=1+52≈1.618.

叠套次数y21y22y23y24y25…极限值y2y2k大约值11.4141.5521.5981.612…1.618y2k为有界递增数列，y2k有极限，

即当k→+∞时，y2k→y2.

当n=3时，

y3=31+31+31+…，

y3=31+y3，

则y33=y3+1，

即 y33-y3-1=0.

根据三次方程求根公式，有

y3=3-q2+q22+p33+

3-q2-q22+p33

=312+23108+312-23108

≈1.3247.

叠套次数y31y32y33y34y35…极限值y3y3大约值11.2601.3121.3221.324…1.3247则有 y3k为有界递增数列，y3k有极限.

即当k→+∞时，

y3k→y3.

当n=4时，

y4=41+41+41+…，

y44=1+y4，

以此类推，

当k→+∞时，y4k→y4 .

代入Matlab求解y4≈1.2207.

四、一般情形的推广

yn=n1+n1+n1+n1+…，

yn=n1+yn，ynk极限存在，

则ynn-yn-1=0.

代入Matlab求解如下：

clc，clear

fid=fopen（'d：＼＼char1.txt'，'at+'）;

for n=2：40

p=[1，zeros（1，n-2），-1，-1];

gen=roots（p）;

fprintf（fid，'%g＼＼n'，gen）;

end

fclose（fid）;

ynkyn1yn2yn3yn4yn5…極限值 yny2k11.41421.55381.59811.6119…约1.6180y3k11.25991.31231.32241.3243…约1.3247y4k11.18921.21641.22011.2207…约1.2207y5k11.14871.16531.16711.1673…约1.1673y6k11.12251.13361.13461.1347…约1.1347…y（10）k11.07181.07561.07581.0758…约1.0758…y（20）k11.03531.03621.03621.0362…约1.0362…y（40）k11.01751.01771.01771.0177…约1.0177…极限值ynk11111…1定理3：当n→+∞时，无限次叠套算式

yn=n1+n1+n1+n1+…的极限为1，

即limn→+∞yn=1.

证明 （1）ynk=n1+n1+n1+…+n1的极限存在，

当k=1时，由于n1<n1+n1，

即yn1<yn2，

假设n=k时，ynk<yn（k+1），

则当n=k+1时，由于ynk<yn（k+1），

0<1+ynk<1+yn（k+1），

n1+ynk<n1+yn（k+1），

yn（k+1）<yn（k+2），

由数学归纳法得ynk<yn（k+1）（k=1，2，3……），

则ynk（k=1，2，3……）为单调递增数列.

（2） 假设 limn→∞yn=a，

limn→∞yn=limn→∞n1+limn→∞yn，

则a=limn→∞（1+a）1n.

因为 limn→∞1n=0，

所以a=limn→∞yn=1.

五、推广与应用

定理4：收敛的有限连分数的极限为无限连分数

[a0，a1，a2，a3，…，an]=a0+1a1+1a2+…+1an

limn→∞[a0，a1，a2，a3，…，an]=[a0，a1，a2，a3……]

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]菲赫金哥尔茨.微积分学教程[M].北京：人民教育出版社，1956.