数列的上极限和下极限

尹海燕

摘要：数列的上极限和下极限是数学分析课程中数列理论的重要概念。事实上，数列的上极限和下极限不仅在数列敛散性判别、求数列极限、级数敛散性判别等方面起着重要的作用，而且可以加深学生对实数完备基本定理的掌握和理解，为学生进一步学习函数、集合的上极限和下极限打下基础。下面将数列上极限和下极限做一简单介绍，以飨读者。

关键词：数列的上极限和下极限；聚点；收敛

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）08-0195-02

在数学分析课程中，数列的敛散性判别非常重要，而证明数列收敛的方法也有很多方法[1]，比如ε-N定义、柯西收敛准则、两个重要准则、归结原理和子列原理等。但是有时也可以用上极限和下极限来判断。本文主要介绍数列上极限和下极限的定义，性质以及其应用。

数列聚点的定义[2]：如果在a∈R的任何邻域内都有数列x的无限项，称a为数列x的一个聚点。

例1：数列{（-1）}的聚点是±1；

例2：数列{sin}的聚点是±1，±和0；

例3：数列有聚点0；

例4：数列，，，，，，，，，，…的聚点是整个闭区间[0，1]；

例5：数列1，1，2，，3，，…，n，，…的聚点是0。

注：（1）收敛数列的聚点必唯一，为数列的极限（证明见定理2），如例3。反之不真，如例5。一般情况下，数列的聚点是不唯一的，如例1、例2、例4。（2）数列的聚点和数集的聚点是有区别的。数{sin|n∈Ν}的聚点是空集；数集{（-1）|n∈Ν}的聚点为±1。

容易证明：

聚点的等价定义[3]： 若数列x的子列x有极限a，则称a为数列x的一个聚点。

聚点的存在性定理[2]：有界数列x至少有一个聚点，且存在最大聚点和最小聚点。

下面是数列上、下极限的定义：

上极限和下极限的定义[2]：有界数列x的最大聚点a与最小聚点a称为数列x的上极限和下极限，记作a=xa=x.

上极限和下极限的等价定义1[2]： 若x为有界数列，则？坌ε>0，（1）若存在N∈Ν，使得當n>N时，有

xa-ε，k=1，2，3，…则称a为数列x的上极限。

若x为有界数列，则？坌ε>0，（1）若存在N∈Ν，使得当n>N时，有x>a-ε；（2）存在子列x，x

上极限和下极限的等价定义2[2，4]：若x为有界数列，则x={x}，x={x}.

定理1[2]：对任何有界数列x，有x≤x，x=-（-x）.

注：容易证明x≤x≤x≤x，其中x为有界数列x的一个子列。

定理2[2]：若x为有界数列，则数列x=a的充要条件是x=x=a.

证明：（必要性）？坌ε>0，？埚N∈Ν，当n>N时，

|x-a|<ε.由聚点的定义，a是数列x的一个聚点。若b是数列x另外一个聚点，不妨a0，存在N∈Ν，当n>N时，x<，从而集合{x|x>}只有数列的有限项，这与b是数列x的聚点矛盾。从而数列x只有唯一的聚点，（充分性）由等价定义1，由a是数列x的上极限，？坌ε>0，？埚N∈Ν，当n>N时，

x

？埚N∈Ν，当n>N，x>a-ε.取N=max{N，N}，当n>N时，|x-a|<ε.从而a是x的极限。得证。

注：必要性也可以使用子列原理证明， 过程更简单。另外此定理也可以用来证明数列极限的存在性。

定理3[2]（上、下极限的保不等式性）：若a，b为有界数列，满足：存在N∈Ν，当n>N时，a≤b，则a≤b，a≤b.

证明：假设a=a，b=b，由等价定义2，？坌ε>0，存在N∈Ν，当n>N时，a>a-ε；对于上述ε，存在子列b，对于k∈Ν，b

K=max{N，N}∈Ν，当k>K时，a-ε

定理4[2，3]：上、下极限的四则运算。

a+b≤（a+b）≤a+b，

a+b≤（a+b）≤a+b.

当a≥0，b≥0，则

a·b≤（ab）≤a·b，

a·b≤（ab）≤a·b.

当a>0，a>0，则a=.

参考文献：

[1]裴礼文.数学分析中的典型问题和方法[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]费定晖，周学圣.吉米多维奇数学分析习题集题解[M].山东科学技术出版社，2008.

[4]杜广麟.关于数列的上下极限的几个等价定义[J].安徽师大学报（自然科学版），1981.