把握数学核心概念 促进学生深度学习

毕晓光 吴雁

一堂有价值的数学课，給予学生的影响应该是多元而立体的。既要有丰厚的知识和纯熟的技能，更应该有数学方法的领悟、数学思想的启迪和精神的熏陶。北师版《义务教育教科书·数学》六年级下册“比例尺”一课是学生在对比的意义已有了一定的建构基础，掌握了比的基本性质，具有了一定的生活经验之上进行探索和学习的。这部分内容有较强的实际应用价值，它可为学生架起一道数学学习和现实生活之间的桥梁，使他们充分感受到数学的现实意义，从而进一步激发学习兴趣，并为后续学习打下良好的基础。

根据教材的编排意图和六年级学生的认知基础，我们确定了本节课的教学目标：让学生在实践活动中体验生活中需要比例尺。通过观察、操作与交流，体会比例尺的实际意义，了解比例尺的含义。结合具体情境，认识比例尺;能根据图上距离、实际距离、比例尺中的两个量求第三个量。运用比例尺的有关知识，通过测量、绘图、估算、计算等活动，学会解决生活中的一些实际问题，进一步体会数学与日常生活的密切联系。

一、以测试导入新课，激发深度学习的动力

这节课要研究的新知识需要学生有一定的动手能力。我们用了一个动手操作的小测试来引入本课，目的有三：一是以轻松的形式和学生进行沟通，有助于后面师生的交流与配合。二是学生的学习内容应当是现实的、有趣的、富有挑战的，按要求画线这个小活动就是现实的，是有趣的，而且用了测试这样的环节来渲染，它便富有了挑战性。这样才会使他们感到一种乐趣，体验到一种成就感，激励他们进行更深入地学习与研究。三是由于测试的难度较低，所以学生在这一开始的环节中便能轻松获得成功的喜悦，增强了完成本节课的信心，尤其是一些潜能生。这样，以测试导入新课，能激发学生深度学习的动力。

师：请大家准备好本、尺子和笔，接受第一项测试，请在笔记本上画一条长3厘米的线段。（课件出示3厘米，学生画图）

师：请接受第二项测试，请画一条长1分米的线段。（课件出示1分米，学生画图）

师：看来这两项测试都难不住大家，请看第三项测试，请画一条长4米的线段。（板书，4米，学生中传来质疑声）

生：老师，画不了。笔记本不够大，画不下。

师：谁有办法能解决这个问题呢？

生：可以把它缩小之后画出来。

生：可以按照比例画下来。

师：你打算用多长来表示4米呢？

生：用4厘米。

师：他这样做可以吗？

生：可以。

师：是的，如果同学们学习了前一课，就更能够体会这样做是可以的了。你真会想办法，在现实生活中，如果遇到要表示的距离过长或过大时，可以先将它缩小后再画出来，这种方法非常有效，这也是我们做事时的一种解决策略，用“甄嬛体”说，那就是“极好的”。用4厘米来表示4米（板书，4厘米），那么，你能用比表示他们之间的关系吗？（板书，比）

生：4厘米是4米的一百分之一，4米是4厘米的100倍。

师：你表达得真完整，他们的比是多少呢？

生：把4米换成400厘米，4比400就是1比100，它们的比是1比100。

师：你解释得非常有条理，很清楚。（板书，1：100）

师：在数学上，我们把4厘米这样画在纸上的长度称为图上距离（板贴，图上距离），那么4米称为什么呢？

生：实际距离。

师：是的，4米表示实际的长度，称为实际距离。（板贴，实际距离）

师：那么1：100表示什么意思呢？请同学们在小组里讨论一下，说一说。

生：1：100表示图上距离是实际距离的一百分之一，实际距离是图上距离的一百倍。

生：1：100表示图上距离如果是1厘米，实际距离就是100厘米。

生：表示图上距离乘100就得到实际距离，实际距离除以100就得到图上距离。

师：同学们说得都对。那么除了可以用4厘米来表示4米，还可以用多长来表示呢？

生：还可以用4毫米。

师：可以吗？（板书，4毫米）

生：可以。

师：那么此时4毫米就称为图上距离，实际距离还是4米，它们的比是多少呢？

生：把4米换算成4000毫米，4比4000就等于1比1000，它们的比是1∶1000。

师：那么1∶1000表示什么意思？（板书，1∶1000）

生：表示图上距离是实际距离的一千分之一，实际距离是图上距离的1000倍。

生：如果图上距离乘1000就得到实际距离，如果实际距离除以1000就得到图上距离。

师：说得真好。这就是我们这节课要研究的内容——比例尺。（板书，比例尺）

在以上教学片段中，前两项测试，我们选择了不同的方法让学生互检互查，先是组长检查，小组长一般在班级的成绩、表达与活跃程度上都是更胜一筹的，他们的正确率更高，思考问题更全面、更严谨，通过他们的检查，能够有效指出并帮助一些潜能生改正错误，并使其表达完整。在这种条件下再进行第二轮近似的测试，相信有了经验之后，错误率会大大下降。再让同桌互检，让每一个学生都有检验别人答案的机会，充分地锻炼了他们的判断能力，并让其感受到自己是学习的主人，体会到主动的优越感。这些细节对于那些平时不爱表达、畏惧表达的学生很有作用，这样的细节能够让他们感受到作为检查者的优越感，会改变他们今后对待学习、处理问题的态度与做法，这要比上好一节课重要得多，有意义得多。

“将4米长的线段画在本上”这一要求的提出必定会引起学生的质疑，这也是我们设计的目的所在。有了质疑，才有兴趣思考;进行了自主思考，才是有效的教学。按照教材的安排，本课学习比例尺之前，学生已经学习过了正、反比例、图形的放缩等知识内容，根据这些知识就可以解决这个问题。说说4厘米与4米之间的关系，这个问题的设计意图是让学生从已有的知识出发，学习新知，4厘米与4米是两个很具体的量，他们的关系是一目了然的，4厘米是4米的一百分之一，4米是4厘米的100倍。学生非常容易理解这一点，我们的课前设计是再用比的形式表示他们之间的关系，进而引出图上距离与实际距离。这几步走下来，学生就能够从理解具体的数量之间的关系，进而轻松地理解图上距离与实际距离这样的概念之间的关系了。我们鼓励学生用尽可能多的方式来表述当比例尺是1∶100时，图上距离与实际距离之间的关系，这样有助于他们从多角度去观察、理解事物，也做到了尊重每一个学生，允许不同的学生从不同的角度认识问题，采用不同的方式表达自己的想法，使“不同的人在数学上得到不同的发展”。

二、以追问引发思考，开启深度学习的思维

在课堂教学中有好几处地方，我们都进行了反复提问，就是一个问题连续问了两遍或三遍，根据以往教学经验，无论是在哪一节数学课上，总会有几个学生注意力不是百分之百的集中，一但提出集体回答的问题时，他们就人云亦云。如果问到了第二遍，就起到了强调和提醒的作用，能引起一些学生的注意，他们会下意识地想：是不是我说错了？也就会快速思考，并确认答案。根据实际教学成果来看，这样能起到强调重点知识的作用，能开启学生深度学习的思维。

师：黑板上这些都是比例尺，谁能说说什么是比例尺？

生：比例尺就是图上距离比实际距离。

师：是的，比例尺是图上距离与实际距离的比。比例尺是一把尺子吗？

生：不是。

师：比例尺是什么？

生：是一个比。

师：没错，那么比除了可以写成这种形式，还可以写成什么形式？

生：分数形式。

师：（板贴，[图上距离实际距离]）同学们一起读一下。

生：比例尺=图上距离：实际距离=[图上距离实际距离]。

师：在现实生活中，你见过比例尺吗？在哪里见过？

生：地图上有比例尺，房产局的墙壁上贴的平面图上有比例尺，地球仪上有比例尺。

师：是的，比例尺在我们生活中的应用是很广泛的，例如画的平面图和规划图上都离不开比例尺。（课件出示）同学们，现在老师手里就有一张中国地图，谁能来找一找上面的比例尺呢？

师：给大家读一读这个比例尺，再把它写在黑板上。（[112000000]）这个比例尺表示什么意思呢？

生：表示图上距离是实际距离的一千二百万分之一，实际距离是图上距离的一千二百万倍。

师：这里还有一张世界地图，谁来找一找比例尺？1∶61000000这个比例尺表示什么意思？

生：表示图上距离是实际距离的六千一百万分之一，实际距离是图上距离的六千一百万倍。

师：同学们看黑板上的这些比例尺，你发现了什么？

生：我发现了他们的图上距离都是1。

师：也就是他们的前项都是1。

生：我发现他们都是比。

在以上教学片段中，让学生说说自己见过的比例尺是回忆的过程，总结比例尺的应用是传授的过程，找地图上的比例尺是观察的过程，不管利用怎样的形式，目的是让学生知道，我们之所以要学习这个知识，是因为生活中用得到，学习它是为了方便我们的生活，让学生感受到学习数学是为了服务于生活，而不只是为了做题、得分。

通过“观察比例尺，说说你发现了什么”这样的问题，将学生带入观察与思考之中，即使没有发言的学生，也能够注意到比例尺的特点，这样就达到了全员思考、全员有所得的教学效果，还能让学生在理解数学结果形成过程中积累数学活动经验。正所谓趁热打铁，马上让学生计算几个比较简单的比例尺，目的是明确、探索和巩固：明确计算方法，探索计算技巧，巩固比例尺的概念。

三、以练习巩固新知，丰富深度学习的经验

巩固练习部分，我们依照贴近生活的原则设计，学生兴致勃勃。这些习题都富有生活气息，洋溢着童趣。这种有效情境的创设使学生更加理解了数学与生活实际的联系，从而达到了用数学知识服务于生活的目的。练习的难度由浅入深、由易到难，符合学生的认知规律和思考习惯。这样的练习，能巩固新知，丰富深度学习的体验。

师：让我们去看一看一直陪伴我们学习、成长的好朋友笑笑带来了什么。（课件出示笑笑家的平面图）你从图中获得了哪些信息？

生：这是笑笑家的平面图。

生：比例尺是1：100。

生：我看到了表示方向的符号。

师：同学们观察地真细心。那么，你们能利用笑笑为我们提供的比例尺，回答她提出的问题吗？

师：同学们看，这是一幅中国地图，你看到了什么？

生：它的比例尺是1：29000000。

师：你们的手中也有和它一样的中国地图，那么你能找到我们祖国的首都吗？你能找到我们的家乡沈阳吗？估计一下，北京距离沈阳的图上距离大概是多少？

生：2厘米。

师：请同学们测量一下，看一看你估计得准不准，然后再算一算，北京距离沈阳的实际距离大约是多少。

生：通过测量，我得到北京距离沈阳的图上距离大约是2厘米，用2×29000000得到58000000厘米，再换成千米是580千米，所以北京距离沈阳的实际距离大约是580千米。

师：你为什么要用千米做单位呢？

生：因为用厘米，数字太大了。

师：是啊，因为距离太长，所以我们选用千米做单位比较合适。

师：如果在暑假期间，给你一次出去旅游的机会，你最想從哪儿去哪儿呢？算一算他们之间的实际距离大约是多少。和你小组里的小伙伴们分享一下。

生：我想去海南，我测量了一下沈阳到海南的图上距离大约是9厘米，用9×29000000=261000000厘米，换成千米是2610千米，沈阳到海南的实际距离大约是2610千米。

师：同学们看，这是我家宝贝1周岁时拍的照片，（课件出示）通过测量，我得到照片上人像的高度是9厘米，摄影师告诉我，这张照片是按照1：9的比例尺制作的，你们能帮我算一算我家宝贝的实际身高是多少吗？

生：你家宝贝的实际身高是81厘米。用图上距离9厘米再乘9，就得到了实际身高81厘米。

师：谢谢你的帮忙。还有一张照片，（课件出示）我觉得照得还不错，所以就把它放大了挂在家里，通过测量这张照片，得到照片上人像的高度是81厘米，你知道这张照片是按照怎样的比例制作的吗？

生：是按照1：1的比例制作的，因为图上距离是81厘米，刚才我们知道了你家宝贝的实际身高也是81厘米，81比81就是1：1。

师：同学们在哪里见过1：1这个比例尺吗？

生：在豆油的包装上见过。

师：你说的是豆油的成分比。还有许多名人蜡像馆里也是按照1：1的比例制作名人蜡像的。

师：同学们看，这是幸福路小学的全景图，在他们学校的中间有一块长方形的活动场地，长为80米，宽为60米。你们能帮助他们把这块场地的平面图画出来吗？不过有要求，需要按照1：1000的比例尺画图。

师：你是怎么画的？

生：我画了一个长是8厘米，宽是6厘米的长方形。

师：你是如何确定它的长与宽的图上距离的？

生：80米就是8000厘米，用8000除以1000就是8厘米，图上距离的长就是8厘米，同样宽就是6厘米。

师：我们来看下一个问题，学校到小明家的实际距离为900米。你有办法找到小明家在图上的位置吗？（小明家在学校的正西方）

生：根据方向标识，我知道小明家在学校的左边。

生：这上面没有比例尺。

师：是啊，缺少比例尺，我们该如何计算呢？这里有个标识，它是什么意思呢？比例尺分为不同的形式，像我们之前说的这些，就是数字式比例尺，还有用文字表示的，叫做文字式比例尺，刚才我们看到的那种，叫做线段式比例尺。所以它也是比例尺，通过这个比例尺，我们知道了这么长的线段就表示300米，那么小明家的位置应该在哪里呢？谁来指一指？你是怎么判断小明家的位置的？

生：一条线段表示300米，那么3条线段就是900米了。

师：同学们，你们知道吗，刚才我们说的这些比例尺全部都是将实际物体缩小之后形成的比例尺，这样的比例尺叫做缩小比例尺，例如地图上的比例尺。还有一种比例尺叫做放大比例尺，让我们来听一听。（播放“你知道吗”的录音）

师：明白了吗？10：1是什么意思？

生：表示用图上距离10来表示实际距离1。

在以上的教学片段中，笑笑家的平面图、地图上的距离，还有后面的练习题（照片的比例、画简单的平面图）等，每一道习题都能够在实际生活中追寻到踪迹，亲切又具有实际意义。而且，这几道习题把求图上距离、求实际距离的不同类型也都涵盖了。

在地图上的距离这道练习题中，我们刻意强调了让学生先估计北京到沈阳的图上距离。这道题，对于学生而言比较简单，容易上手。我们原本的设计是让学生估计图上距离，并且估计实际距离，然后再计算，比较估计的准确性。如果时间还允许的话，也可以按原设计让学生多估计几次。《义务教育数学课程标准（2011年版）》的学段目标第一学段的知识技能中要求：在具体情境中，能选择适当的单位进行简单的估算。第二学段的知识技能中要求：理解估算的意义。如此可以看出，估算在小学阶段占有重要地位。

之所以如此看重学生的估算能力，是因为在我们现实生活中估算是相当重要的。我们曾经特意留意过一天中的计算次数（不包括在课堂上的），一天之内，共计算了11次，其中有9次都是估算的。另外两次，一次是买衣服时计算售货员应该找回多少钱，便于核对;一次是计算打车的钱数加上燃油附加费一共是多少钱。而在生活中，例如大约要用多长时间做完饭，大约要用多久到达的目的地，前车距离有多远，都是用估算，即使在超市购物结算时，也不用去精算钱数，因为有电脑在算。所以我们认为，估算这项能力对于每一个人来说都是很重要的，它能够帮助我们在最快的时间内做好对事物的判断以及处理。在以上的教学片段中，学生反馈北京与沈阳之间的实际距离时，把厘米换算成了千米，这样的生活经验是很可贵的，我们在这里也做了强调，希望学生在思考问题、解决问题时都能够联系生活实际。实际上，让学生积累数学活动经验是联系学生生活经验与学习数学知识的桥梁。

在以上的教学片段中，“你想去哪里旅游”这个开放式的问题完成好了能够体现学生的个性，培养学生独立的人格与主见，这是每个学生都需要具备的。用教师女儿的照片设计为习题，目的是让学生感受到比例尺就在我们的身边，在我们的生活之中，在我们的工作之中，也许它没有直接标示出来，但是这个知识，这个数学原理是时刻存在于我们身边的。而且，通过这道习题的解答，也让学生感受到，比例尺并不都是前项为1，后項为一个很大的数字的那样的比，也有很多像1∶9、1∶1这样的比例尺。

在研读教材中，如果说知识是写在教材上的一条明线，那么数学思想就是隐含在其中的一条暗线。明线容易理解，暗线则需要教师深厚的专业素养做支撑。只有领悟并掌握教材中蕴含的思想方法，才能从整体上、本质上理解教材，才能让精彩的教学环节发挥其真正的价值。读未必懂，读与懂之间必须有“思考”这座桥。教材不可能将所有价值丰富的知识发生过程都呈现出来，所以教师在教学过程中，不能简单地照搬教材，而要既引导学生做，还要引导学生思考为什么这么做，要把学生思考过程完整展现出来。智慧的数学教学不应该只是一个由讲解到接受、再到熟练的程序性学习过程，而应该是一个启迪智慧，同时伴随积极的数学思考的过程。

（责任编辑：杨强）