基于滑动式傅里叶级数的BDS精密星历内插分析

廖怡平，邓健，陈润静，江泽霖

(厦门理工学院,厦门 361024)

0 引 言

卫星位置在全球卫星导航系统(GNSS)导航定位应用中有着至关重要的作用,其精度直接关系着终端定位精度[1]．精密星历可以获取高精度的卫星位置,但精密星历给出的卫星位置间隔一般是15 min．若要得到间隔更小的卫星位置就要使用插值法进行精密星历内插．

内插所用的数学模型不同，其效果和精度也大不相同,目前常用的内插方法有拉格朗日多项式插值、切比雪夫多项式拟合、牛顿多项式插值、三角函数插值、内维尔插值等．文献[2]总结了拉格朗日插值、切比雪夫拟合和内维尔插值原理,并内插不同GNSS的精密星历,得出了每种系统最适合的插值法;为了得到不同阶的拉格朗日插值使用范围,文献[3]使用多种高阶拉格朗日插值模型对GPS精密星历进行内插;文献[4]通过改变多种插值因素,比较了拉格朗日插值和牛顿多项式插值作用于国际GNSS服务(IGS)精密星历的效果;文献[5]实现了切比雪夫多项式和拉格朗日多项式插值在GPS精密星历插值中的应用,并根据实验数据分析比较了不同阶次多项式对两种插值方法的精度影响;文献[6]使用3种多项式拟合处理北斗卫星导航系统(BDS)精密星历,获得了不同轨道卫星与拟合方法的关系,为了解决插值法中存在的“龙格”现象;文献[7]使用滑动式切比雪夫多项式拟合法,通过改变计算使用的节点数与多项式阶数,来确认滑动式切比雪夫多项式拟合是否适合BDS中不同种类精密星历,结论表明滑动式9阶切比雪夫多项式拟合基本满足定位精度要求．

傅里叶插值法是由三角形式傅里叶展开式变换得来的,它的计算复杂程度与常用的插值法对比相差不大,但目前对傅里叶插值应用于BDS精密星历的研究较少．因此,本文将基于傅里叶插值的原理,结合滑动式插值方法内插BDS地球同步轨道(GEO)、倾斜地球同步轨道(IGSO)、中圆轨道(MEO)三种类型精密星历,并通过实验数据进行对比分析．

1 傅里叶级数插值

1.1 傅里叶级数插值原理

傅里叶级数插值的基本形式为

(1)

式中:f(x)为连续的周期函数,周期为T；角频率ω=2π/T；a0,ai,bi(1≤i≤n)为傅里叶系数．

对精密星历做内插,其本质是建立坐标与时间之间的函数关系．将时间t作为自变量,三维坐标X、Y、Z做因变量．以X坐标为例,式(1)可改写为

(2)

BDS卫星运动周期为24 h,即T为24 h,n为阶数,t为插值时间,则式(2)中只有傅里叶系数需要计算．对于傅里叶系数,可以使用已知点去计算,通过已知点的时间和坐标可以列出以下多项式[8]:

(3)

多项式可以写成矩阵

X=Tb.

(4)

式中:T为时间计算的矩阵系数;b为傅里叶系数;X为已知点X方向坐标;只需要简单的求逆即可求出傅里叶系数

b=T-1X.

(5)

将傅里叶级数代入式(1)中可得插值坐标,同理Y、Z也可用同样方法求出．

对于计算结果,本文使用两种精度指标,分别是点位中误差和均方根(RMS)进行分析,点位中误差计算公式

(6)

式中，ΔX、ΔY、ΔZ分别表示X、Y、Z三个方向的误差．

以X方向误差为例,RMS计算公式

(7)

1.2 滑动式插值法

滑动式插值是近年来关于精密星历内插的主要方法[9-10],该方法主要是为了处理插值函数中严重的“龙格”现象．“龙格”现象发生于因拟合阶数过高,使得拟合效果在已知点处非常好,但在其他点(或未知点)处可能会造成异常大的差异．滑动式插值原理就是在进行内插时不断改变插值区间,使插值时间一直位于区间中央,以此来提高插值精度和避免“龙格”现象．

2 BDS精密星历内插分析

从武汉大学IGS数据中心下载的2020年7月18号00:00:00—23:45:00的15 min间隔精密星历文件,其包含BDS 的3种不同轨道类型卫星,3种不同轨道的卫星分别选取多颗卫星作为实验目标, GEO类型卫星选取3颗,为C018、C006、C011;IGSO类型卫星选取3颗,为C010、C017、C019;因文件中MEO类型卫星有北斗三号(BDS-3)与北斗二号(BDS-2)两种,故两种类型分别选取2颗卫星,分别为C202、C206和C012、C013．

本次实验选取的插值节点间隔为30 min．将每小时的第15分钟和第45分钟时刻卫星坐标从精密星历中剔除．使用MATLAB编程实现傅里叶插值,并读取精密星历文件进行插值计算．计算中每小时整点和第30分钟时刻的坐标作为已知插值节点,将每小时的第15分钟和第45分钟时刻卫星坐标作为计算目标．将计算结果与所删坐标做差值,用来分析插值效果．

相同的插值法在阶数不同的情况下,插值结果的差异是很大的,而影响插值结果的因素还有卫星轨道类型等因素．本文首先对比3种类型的卫星在不同阶数的滑动式傅里叶级数插值结果,选出最优阶数,然后将其与目前常用的切比雪夫拟合进行对比,以此得到傅里叶级数插值在BDS精密星历内插中的实际效果．

2.1 不同阶数的傅里叶插值精度分析

表1是3颗GEO卫星在使用多阶傅里叶插值后的X、Y、Z的RMS值,可以看出,在3～6阶时,GEO卫星随着阶数增加插值效果越来越差．X、Y、Z坐标分量残差在3阶达到最佳,其精度可以达到mm级．当阶数提升,坐标分量中误差发生较大变化,精度迅速下降,每个阶数之间相差一个数量级的精度．总体上,GEO卫星精密星历使用3阶傅里叶插值效果最佳．图1给出了C018卫星3阶插值时的三维坐标残差．

表1 GEO卫星不同阶数傅里叶插值RMS mm

图1 C018卫星3阶傅里叶级数插值残差

表2是3颗IGSO卫星精密星历在使用3～6阶傅里叶插值的插值结果,可以看出,IGSO卫星精密星历内插在3～6阶傅里叶插值中,插值效果随着阶数增加精度迅速降低．当阶数为3时,三维坐标方向残差可以达到毫米级,当阶数提升至4时,X方向残差变化不大,Y、Z方向残差增加．在6阶时,精度达到米级,不能达到内插精度要求．总体上,IGSO卫星精密星历使用3阶傅里叶插值效果最佳．图2仅给出了C010卫星在该阶插值法的残差图像．可以看出,图2中的图像两端发生波动,初步分析产生了“边际效应”,即已知拟合节点分布不均匀,两端处的拟合效果变差．

表2 IGSO卫星不同阶数傅里叶插值RMS mm

图2 C010卫星3阶傅里叶级数插值残差

表3和表4分别是BDS-3和BDS-2MEO卫星精密星历使用不同阶数傅里叶插值处理后的方向分量中误差．从卫星型号来说,使用傅里叶插值内插BDS-3卫星与BDS-2卫星精密星历,其中误差相差不大,可以归为一起讨论．与GEO卫星和IGSO卫星不同,MEO卫星在3～6阶插值的精度是先增后减．其3阶插值结果的坐标分量中误差相比4阶甚至5阶更差,但当阶数为4时,中误差变为3～6阶插值法中最小,精度达到厘米级,5阶插值法相比4阶精度变低,其数值增大3倍左右．阶数为6时,中误差达到最大值,达到米级,不能达到内插精度要求．总体上,MEO卫星精密星历使用4阶傅里叶插值效果最佳．图3和图4给出了BDS-3与BDS-2 MEO卫星在最佳阶数下傅里叶插值残差．

表3 BDS-3 MEO卫星不同阶数傅里叶插值RMS mm

表4 BDS-2 MEO卫星不同阶数傅里叶插值中误差 mm

图3 C202号卫星4阶傅里叶插值残差

图4 C012号卫星4阶傅里叶插值残差

2.2 切比雪夫拟合精度分析

通过2.1节分析可以看出,若要使用傅里叶插值处理BDS的GEO、IGSO、MEO卫星精密星历,精度最高的阶数分别是3阶、3阶、4阶．9阶切比雪夫多项式拟合是目前常用的几种插值法之一,它的插值精度能满足目前大多数需求．为此,本文用9阶切比雪夫拟合处理相同的卫星,并对比3种卫星阶数最优的傅里叶插值法与9阶切比雪夫拟合效果．图5是3种卫星分别使用最合适的傅里叶插值和9阶切比雪夫拟合的点位中误差．图5中的曲线较为平滑,中点至两端的曲线波动较小,没有产生“龙格”现象,初步分析滑动式插值有效避免了“龙格”现象的发生．

图5(a)是3阶傅里叶插值和9阶切比雪夫多项式拟合处理C018号GEO卫星精密星历每个插值时间的点位中误差．其中,切比雪夫拟合的RMS为0.67 mm,3阶傅里叶插值的RMS为1.61 mm．可以明显看出,在处理GEO卫星精密星历方面傅里叶插值在绝大多数插值时间上的精度都比切比雪夫拟合低,原因可能是插值节点过少,3阶傅里叶插值所用节点为7个,切比雪夫拟合所用节点至少要10个．在处理GEO卫星上,切比雪夫拟合和3阶傅里叶插值均较为稳定,都没有出现“边际效应”现象．

图5(b)为3阶傅里叶插值和9阶切比雪夫多项式拟合处理C010号IGSO卫星精密星历的结果,图中数据为每个插值时间坐标的点位中误差．其中,切比雪夫拟合的RMS为3.38 mm,3阶傅里叶插值的RMS为10.88 mm．可明显看出,3阶傅里叶插值在处理IGSO卫星精度不如9阶切比雪夫拟合,并且傅里叶插值出现了严重的“边际效应”现象,插值函数图像仅在两端产生剧烈波动．切比雪夫拟合表现更为稳定,且精度更高．

图5 傅里叶插值与切比雪夫拟合对比结果

图5(c)为C202号MEO卫星精密星历4阶傅里叶插值与9阶切比雪夫多项式拟合处理结果,结果由每个插值时间坐标的点位中误差表示．从图5(c)可以看出,MEO卫星与前两种卫星结果不同,4阶傅里叶插值的精度比9阶切比雪夫拟合更高．其中,切比雪夫拟合的RMS为83.17 mm,3阶傅里叶插值的RMS为35.37 mm．从图5(c)中的函数来看,切比雪夫拟合两端出现严重的波动,即“边际效应”现象,4阶傅里叶插值则更为稳定．

3 结束语

本文通过改变傅里叶级数插值的阶数,对BDS的GEO卫星、IGSO卫星、MEO卫星精密星历进行内插,并分析其结果,通过分析可知:

1) 不同阶数的傅里叶级数插值在处理BDS精密星历上,精度最高可以达到毫米级．对于不同类型的卫星,达到最高精度的插值阶数也不同．对于GEO卫星与IGSO卫星精密星历,3阶插值法最适合,精度最高可以达到毫米级．对于MEO卫星精密星历,不管是BDS-3卫星还是BDS-2卫星的精密星历,4阶插值法最适合,精度可以达到厘米级．总体上,该算法可以适用于BDS精密星历内插．

2) 9阶切比雪夫多项式拟合与傅里叶级数插值采用滑动式插值法可以有效避免“龙格”现象的发生,但无法解决两端因为拟合节点分布不均匀所带来的“边际效应”．

3) 9阶切比雪夫多项式拟合同样可以达到毫米级以上的精度．在处理BDS卫星上,切比雪夫拟合在GEO卫星与IGSO卫星表现相比3阶傅里叶插值更好,精度更高,但就计算来说,切比雪夫拟合的数学模型更复杂;而对于MEO卫星,4阶傅里叶插值效果优于9阶切比雪夫．