基于微命题和微方法的学生素养培养

戴娟

【摘要】 勾股定理是数学学科中的重要定理之一，揭示了自然界中的规律.它也是数形结合的典型运用，涉及生活中的各个领域，如军事、工业、农业、航空、航海.所以，教师必须对其引起足够的重视，在向学生讲解勾股定理及运用的过程中，可以重点讲解微命题以及微方法的应用，以此提升学生的数学素养.

【关键词】 微命题;微方法;素养培养;勾股定理

数学源于实际生活，数学的发展主要依赖于生产实践.教师从数学应用的角度处理数学、阐释数学、呈现数学，能让学生了解到数学是有用的，数学就在我们身边.教师可以运用勾股定理培养学生微命题与微方法的运用，加强学生对数学课程的认知，提升学生的数学素养.

一、判断三角形的形状

例1  已知△ABC，其中a=3厘米，b=4厘米，c=5厘米，在Rt△A′B′C′中，∠C′=90°，a′=3厘米，b′=4厘米，试分析△ABC的形状，并结合教材进行作图.

分析  三角形的三边长依次为3厘米、4厘米、5厘米，这样的设计学生较为熟悉，可以提升学生的作图能力.在学生较为熟悉的图形中进行练习能够促进学生的合理思考.在教师的启发下，学生往往能够想到△ABC为直角三角形，由此得出∠C=90°，并通常会想到两个三角形全等，为下一步验证做铺垫.

二、地基挖得合格吗

例2  现有一人准备挖地基建房，他对地基面积进行了规划，采用长方形的设计方式，如图1 所示，从图中可知，AB=DC=8米，AD=BC=6米，AC=9米，判断该设计图是否合理.

分析  解决这一实际问题需要用到数学中的勾股定理，要求将这一问题的解决转化为实际问题的解答.教师可以引导学生从直角三角形的角度进行解答.

解 ∵AD2+DC2=62+82=100，AC2=92=81，

∴AD2+DC2≠AC2，∴△ADC不是直角三角形，

∴∠ADC≠90°，而标准为长方形，四个角应为直角，

故该设计图不合理.

评注  勾股定理的逆定理在解决实际问题中有着广泛的应用，如用它来判定直角，在建房时，常需要在现场画出直角，在没有测量角的工具的情况下，工人常利用勾股定理逆定理得到直角.这个问题的解决让学生感受到了数学的实用性，加深了他們对勾股定理逆定理的认知.

三、木棒能放进木箱吗

例3  现有一木箱，其长度为50厘米，宽度为30厘米，高度为40厘米.有一根木棒，其长度为70厘米，问：能将这一木棒放入这一木箱之中吗？

分析  木棒长70厘米，比木箱的长、宽、高均要长，从表面上看，木棒是难以直接放入木箱的，但是教师可以引导学生看到木箱是一个立体图形，解决该问题需要学生具有一定的空间思维.

解  木棍是能放入木箱的.如图2，连接A1C1，AC1，在Rt△A1B1C1中，A1C21=A1B21+B1C21=502+302=3400.

在Rt△AA1C1中，AC21=AA21+A1C21=402+3400=5000.

∵5000>702，∴AC1>70，

∴70厘米长的木棒能够放入木箱.

评注  解决此题的关键在于明确AC1即为木箱所能容纳的最大长度.这里充分利用了木箱各邻边的垂直关系，创造了连续运用勾股定理的条件，同时培养了学生的空间想象力.

这一题目的分析与解答充分利用了勾股定理，并将其运用到了空间之中.对木箱各个邻边的关系进行了分析后，可知木箱能够容纳的最大长度为AC1，这既体现了勾股定理的运用，又考查了学生的空间想象能力.

在勾股定理的运用过程中，教师应当帮助学生建立良好的微命题和微方法意识，发展学生的数学素养，提升学生的数学解题能力.

四、地毯铺设所产生的费用问题

例4  如图3，现需要在一楼梯表面铺设地毯，楼梯具有5米斜坡长度、3米高度，则需要准备多少长度的地毯？假设购置每平方米地毯需要30元，楼梯具有2米的宽度，则铺设地毯需要花费多少元？

分析  在这一题目的解答过程中，直接计算难以得出楼梯的垂直高度与水平宽度，但是通过对题干的分析，我们能够得出BC即为楼梯的垂直高度，AC则为楼梯的水平宽度，可运用勾股定理求得AC，再计算AC+BC的长度.

解  由题意知，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，以此能够得出AC2=AB2-BC2=52-32=25-9=16，求得AC=4米.

因此能够得到地毯的长度是AC+BC=4+3=7（米）.因此能够得出地毯总面积是7×2=14（平方米）.

因此铺设地毯所花费的费用是30×14=420（元）.

评注  这个题目的情境充分体现了勾股定理在实际生活中的运用，体现了数学知识与实际生活运用之间的结合，要求学生结合题干所给条件构建一个直角三角形的模型，进而求解AC的长度.

五、折叠问题求解

折叠问题主要考查的是学生空间想象能力、逻辑推理能力及相关知识的灵活运用能力，在中考中较为常见，而通过勾股定理常能够有效解答.

例5  如图4，在边长为6的正方形ABCD中，边CD的中点为E，将△ADE沿AE对折至△AFE，并延长EF与BC相交于点G，连接AG.（1）求证：△ABG≌△AFG;（2）求BG的长度.

分析  本题考查了勾股定理、折叠问题、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等，将勾股定理运用到其中能够有效解答折叠问题.在解题过程中，可利用正方形的性质 寻找相应的直角与相等的边.

解答  （1）∵ABCD为正方形，

∴∠B=∠D=90°，AD=AB.

通过折叠，能够得到

AD=AF，∠AFE=∠D=90°.

因此可得到∠AFG=90°，AF=AB，可得∠AFG=∠B.

结合AG=AG，

即证得△ABG≌△AFG.

（2）如图5，通过△ABG≌△AFG，

可得BG=FG.

假设BG=FG=x，可得GC=6-x.

由E为CD中点，可得CE=EF=DE=3，

因此可得EG=x+3，

则32+（6-x）2=（x+3）2，

解得x =2，

因此BG=2.

六、两船距离问题

例6  现有两艘轮船分别以不同的速度沿着不同的方向行驶，其中一船向东南方向行驶，速度为16海里 时，另一船向西南方向行驶，速度为12海里 时，经过一个半小时的行驶之后，两船之间相距多远？

分析  结合题干所给条件画出示意图如图6，可知两船之间具有90°夹角，经过一个半小时的行驶之后，可采用勾股定理求解两船之间的距离.

解  两船行驶方向中，西南方向表示南偏西45°，东南方向表示南偏东45°，因此可知在两船行驶过程中，OA，OB方向构成直角关系，据此计算，可知OB=12×1.5=18（海里），OA=16×1.5=24（海里），将AB两点连接，△AOB为直角三角形，运用勾股定理能够得出AB2=AO2+BO2=242+182=900.

因此得出AB=30（海里）.

故两艘轮船在行驶一个半小时之后相距30海里.

评注  解决航海问题的关键在于正确画出几何图形，找出直角三角形，应用勾股定理来解决.

在求解两船行驶以及两车行驶产生的距离问题时，可以结合题意先作出图形，找出直角三角形，然后运用勾股定理进行求解.本题是一道航海应用题，解题的关键是要准确找出所解直角三角形，其次要弄清题意，找出已知条件和所求对象.

七、家具能搬入房间吗

例7  图7是某家具（转角书橱）的横截面，请设计一个方案（已知书橱高2米，房间高2.6米，故不从高度方面考虑方案设计），按如

圖8所给的长廊搬入房间，在图8中把你的设计方案画出草图，并说明理由.（注：搬动过程中不可拆卸家具，不得损坏墙壁）

分析  如图9中的设计方案说理图，作直线AB，延长DC交AB于E，由题意，在等腰直角三角形ACE中，CE=0.5，DE=DC+CE=2.过D作DH⊥AB于H，则DH=DE·  2 []2 = 2 .

∵ 2 <1.5，∴可按图9中的设计方案图将家具从长廊搬入房间.

评注  这是一道源于生活的实际问题，重点在于考查学生的综合运用能力、解决实际问题的探究和创新能力，本题反映了生活中上的实际情况，很有创意，不但体现了用数学的眼光看世界，也体现了用数学的思维解决实际问题.

八、通过对勾股定理的总结，提升学生的核心素养

学生已经掌握了勾股定理a2+b2=c2的含义，所有的 直角三角形均能够用此关系式表示边的关系，无论多长的边均可以用这一公式进行表示，字母a，b，c代表了直角三角形的各个边长，a，b，c只是一个符号，也可以将其表示为x2+y2=z2.

对勾股定理的证明可以采用面积法，即赵爽弦图，在代数式之间的恒等关系证明上可以采用对几何图形进行截、割、拼、补等方式.面积法在数学多个领域中均有重要的运用，包括射影定理的证明、直角三角形斜边高的求解等.通过对勾股定理及其证明方法的运用，学生对勾股定理的认知有了进一步加深，具备了良好的解题能力.教师通过对勾股定理的总结，可指导学生对勾股定理进行灵活运用，在课程学习中逐步渗透数学本质，提高学生的核心素养.

九、结束语

在日常教学过程中，老师将生活中常见的现象以数学的形象呈现出来，具有很强的直观性，学生会感觉到数学无处不在，也充分体现了“应用数学解决实际问题能力的考查”.以上几题都是勾股定理的应用题，解题时教师要指导学生将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素间的关系，即把实际问题抽象成数学模型（构造直角三角形），根据直角三角形中的边角关系求解.解题时应注意：（1）分析题目，通过作图找出或构建要解的直角三角形（或特殊四边形，如梯形）;（2）选择合适的边角关系，简化运算.

勾股定理在实际生活中有着较为广泛的运用，在教学过程中，教师可以从微命题和微方法的角度加强学生对勾股定理的认知，促使他们在正确理解定理含义的基础上正确解题，以此提升学生的数学核心素养.

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