渗透模型思想 提升数学素养

颜小兵

一、设计背景

中考数学复习课是初中生进行系统学习的最后一环。作为一线教师，我们要努力让学生将知识结构进行优化，提高学生的思维水平和认知能力。本节课选取的课例是中考数学专题复习课“将军饮马问题及其拓展”。该问题模型建构、思考过程简单巧妙，与其他相关知识结合后有许多妙用，贯穿初中数学始终，是一节具有很强代表性的复习课。

二、教学目标

让学生了解“将军饮马”问题模型并理解模型的本质;挖掘几何图形中的隐含条件，归纳总结“两定一动”类型的题目特点并转化;培养学生建模和转化问题的能力，发展学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

三、教学过程

1.引入情境，解析模型。

问题1：古希腊一位将军要从A地出发到河边MN处饮马，然后再回到驻地B。问该将军怎样选择饮马地点，才能使路程最短？

可在河边饮马的地点有许多处，现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和最短的那个点。教师要引导学生做辅助线（如图1）。

2.观察探究，合作交流。

问题2：如图2，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，若AE=2，求EM+EC的最小值。

本题是“将军饮马”问题模型在等边三角形中的特殊运用。等边三角形是轴对称图形，底边上的高与底边上的中线互相重合。任意一条边上的高都是这条边的垂直平分线，都是等边三角形的对称轴。这里要提醒学生借助图形的对称性，根据“两点之间线段最短”找到动点位置，再结合勾股定理求出最小值。

师：刚才同学们是利用“等边三角形是轴对称图形”这一特征，直接找出对称点，将最值问题转化成我们熟悉的问题。下面请看问题3，在正方形中是否也能够借助模型求最值呢？

问题3：如图3，在正方形ABCD中，点E在BC边上，BE=2，CE=1，点P在BD上，求PE+PC的最小值。

本题是“将军饮马”问题模型在正方形中的特殊运用。这里仍然要提醒学生，借助特殊图形的对称性进行证明。

师：同学们，圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。在问题4中，求两条线段之和的最小值，能否根据圆的对称性，联想到“将军饮马”问题模型去解决呢？

问题4：如图4，AB是⊙O的直径，AB=4，点C是半圆的三等分点，点D是弧BC的中点，AB上有一动点P，连接PC、PD，则PC+PD的最小值是多少？并画出点P的位置。

本题是“将军饮马”问题模型在圆中的特殊运用。教师要提醒学生紧紧抓住圆既是中心对称图形，又是轴对称图形的特征。只要抓住模型的本质特征，借助对称性，根据“两点之间线段最短”，找到动点的位置并不困难。

3.变式提升，拓展创新。

师：同学们，以上3个问题都是借助“将军饮马”问题模型，根据等边三角形、正方形、圓的轴对称性求解的。下面我们来看一下，在二次函数以及平面直角坐标系中，如何联想到“将军饮马”问题模型求线段和的最小值。

问题5：如图5，抛物线y=ax2+c经过A（0，1），P（2[3]，-3）。（1）求表达式并判定C（[3]，0）是否在此抛物线上;（2）若M是抛物线对称轴上的动点，连接MP、MC，试求△PCM周长的最小值。

问题6：如图6，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD（点D在点C的右侧）在x轴上移动，A（0，2），B（0，4），连接AC、BD，求AC+BD的最小值。

4.联系实际，综合运用。

师：数学来源于生活，生活中的许多实践活动都与数学有关。譬如，在一个圆柱体上，如何求小虫爬行的最短路径呢？

问题7：如图7，桌上有一圆柱形玻璃杯，高12cm，底面周长18cm，在杯内壁离杯口3cm的A处有一滴蜜糖，一条小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3cm的B处时（即A、B在底面的射影的连线经过底面的圆心O），突然发现了蜜糖。小虫怎样爬，到蜜糖的路程最短？

这是一道将“将军饮马”模型应用到实际生活的典型问题。在讲解过程中，教师可以将立体图形展开成平面图形，引导学生看清题目的本质，利用建模思想解决问题。

四、教学反思

典型的“将军饮马”问题属于“一动两定”型问题，其本质就是将同侧两折线段之和，通过轴对称转化为异侧两折线段之和。它与三角形、四边形、圆、函数及实际生活紧密联系在一起，虽然每个题目的呈现形式不同，但解决问题的本质方法不变，往往需要通过作辅助线，将问题转化为“将军饮马”问题，最后利用“两点之间线段最短”的基本事实解决。本节课研究的重点实际上是图形之间的位置关系，以及由一个图形得到另一个图形的轴对称变换。只要引导学生掌握模型本质，挖掘知识点之间的联系，许多问题便可以迎刃而解。在教学过程中，教师要积极渗透数学模型思想，讲清、讲透每个数学模型，让学生能看清知识的本质，触类旁通，这样才能帮助学生拓宽数学知识面，促进学生分析问题和解决问题能力的提高，进一步发展学生的数学核心素养。

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区实验初中）

本文系江苏省教育科学“十三五”规划课题“基于‘数字学习’场域建构的初中教学质态研究”（编号：C-c/2016/02/77）阶段性研究成果。