模糊值函数的R-S积分和广义Hukuhara微分

亢琳 郭元伟

【摘要】借助于区间值函数（RS）积分，给出模糊值函数Riemann-Stieltjes积分的概念，讨论其性质。定义模糊值函数关于实值增函数g（x）的广义Hukuhara微分，研究模糊Riemann-Stieltjes积分的原函数性质。

【关键词】模糊值函数;模糊Riemann-Stielties积分;广义Hukuhara微分

〔中图分类号〕O159 〔文献标识码〕A 〔文章编号〕1674-3229（2021）04- 0015-04

0 引言

模糊分析学理论已取得较丰富研究成果[1]，其中关于模糊值函数的微积分已有很多研究[2-8]。文献[2-3]分别给出了模糊Henstock积分和模糊Henstock-Stieltjes积分，并讨论了相应积分的线性性质、区间可加性、单调性及积分原函数存在的必要条件。WuHsein-chung[5]给出了模糊值Rie-mann-Stieltjes积分的定义，由于文献[5]中的定义过于复杂，吴从忻等[6]于2006年重新定义了模糊Riemann-Stieltjes积分，阐述了积分性质和模糊值函数可积的充分必要条件，并进一步扩展和丰富了积分性质和积分序列的收敛问题L7，8]。为进一步完善模糊微积分理论，文献[9]、[10]分别研究了集值函数Riemann-Stieltjes积分和基于结构元的模糊值函数Riemann-Stieltjes积分。众所周知，模糊数水平截集的长度单调递增是模糊数H差存在的必要条件。B.Bede等[11]于2005年提出的模糊值函数的强广义微分较好地扩展了模糊数H差的存在性，与此同时，L.Stefanini[12]给出了更加简洁的广义H差，借助于广义H差文献[13，14]研究了模糊值函数的广义微分和一阶线性微分方程的解。基于上述考虑，本文借助于区间值函数（RS）积分的性质，首先给出了模糊值函数Riemann-Stieltjes积分的概念，讨论了其性质;其次，定义了模糊值函数关于实值增函数g（x）的广义Hukuhara微分，研究了模糊Rie-mann-Stieltjes积分的原函数性质。

1 定义及说明

记RF为实数集R上的全体模糊数。对于u∈RF，如果u是正规的、凸的、上半连续的，且支撑集[u]o = {x∈R|u（x）>]紧，则称u为模糊数[1，2]。设u，V∈RF，u与v之间的距离定义为[1-3]：

4 结论

本文借助于区间值函数Riemann-Stieltjes积分的性质，首先定义了模糊值Riemann-Stieltjes积分，研究了相关性质。其次给出了关于实值增函数g（x）的广义Hukuhara微分。值得一提的是当g（x）退化为x时上述微分就是B.Bede所定义的Hukuhara微分。尽管如此，关于广义Hukuhara微分的结果仍需进一步讨论，后期将对线性微分方程和非线性微分方程的解做进一步研究。

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[收稿日期]2021-07-10

[作者简介]

[作者简介]亢琳（1984-），女，江苏师范大学科文学院讲师，研究方向：模糊分析学及其应用。

[通讯作者]郭元伟（1983-），男，硕士，太原学院数学系讲师，研究方向：模糊分析学及其应用。