一元二次不等式衔接课的教学实践兼谈对初中和高中衔接的思考

◇ 广东 邱志权 余铁青

一元二次不等式是初中和高中阶段中较为基本的不等式．在初中主要是考查二次函数,较少涉及不等式的求解,相关知识考查单一,难度不大．通常来说在高中对一元二次不等式的考查不是孤立的,它更多是将多板块的知识杂糅在一起,从单纯考查一元二次方程的求解转变为以一元二次不等式为工具辅助解决其他问题,成为解题过程中极为重要的纽带,其重要性进一步提升．

1 缘起

在本学年开学不久,笔者所在学校开展了科组公开课,题目是“数列中的最值问题”,整堂课的讲授都是围绕数列的单调性进行展开,教师引导学生将(n,an)看成(x,f(x)),利用数列的函数属性解决问题．其中一道例题如下:已知数列{an},an＝n2＋λn (其中λ 为常实数),若数列{an}为单调递增数列,求实数λ 的取值范围．学生们的作答情况如下．

解答1:利用数列的单调性可知:an＋1＞an,代入化简得λ＞－3．

解答2:注意到an＝n2＋λn,而n∈N＋,结合数列单调性与二次函数图象可知,即λ≥－2．

笔者发现,用解法2的同学数量多于解法1,看了解法1后很多同学认为解法1是对的,但是解法2似乎也没有问题,碍于答案的唯一性,大家都认为解法2是错的,但就是不清楚究竟错在哪里．教师通过信息技术作图,展示了数列图象是离散点,而二次函数是连续图象,通过几何直观,大家很顺利地理解了解法2存在的问题．这也让笔者产生思考,一直以为学生会的内容,或许学生并不熟悉．

2 教学内容背景分析与教学目标

旧版教材将一元二次不等式的解法这部分内容安排在函数的学习之后,而很多学者、一线教师普遍反映应将这部分内容调整至集合之前或者集合之后函数之前．人教社最新版(2019年版)教材已经将一元二次不等式调整至继集合之后,实际上新教材集合的课后参考资料中还是出现了一元二次不等式求解的问题,然而教材又将一元二次不等式放在了后面章节,所以依据实际学情,适时开展一元二次不等式求解衔接课具有极强的实际意义．

通过这节课引导学生思考一元二次方程、二次函数图象以及一元二次不等式的解与图象的关系,并能根据图象处理含参一元二次不等式问题,判定参数范围,训练学生学会类比、迁移、归纳总结的数学思维品质,提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养能力．

3 教学重难点

重点:通过绘制二次函数图象得到一元二次不等式解的情况,并准确区分它与二次函数图象的异同．

难点:从数据处理到草图的准确绘制,求解参数．

4 具体教学设计过程

4.1 复习引入,由代数向几何过渡

师:请大家求出不等式2x－1＜0的解集．

师:请你说说是怎么算得的．

生1:先把1移到不等式右边,然后不等式两边同时除以2,即得解集．

师:说得很准确! 但这是从代数运算化简的角度处理的,那大家能不能通过几何图象进行理解呢?

生2:我觉得可以这样理解,对于不等式左边的2x－1,用一次函数的观点来看,即y＝2x－1,那么该不等式的解就可以理解为y＜0的自变量x 的集合．该图象为直线且过点,函数斜率为正数,所以由图象可得不等式的解集为

4.2 思考讨论,画图象,展示几何直观

师:请同学们看以下问题,并讨论两个问题的关系(白板展示)．

(1)当x 为何值时,二次式x2－x－6的值等于0? 何时大于0? 何时小于0?

(2)当x 为何值时,函数y＝x2－x－6 图象上的点在x 轴上方? 何时图象上的点在x 轴上? 何时图象上的点在x 轴的下方?

设计意图:从一元一次函数图象过渡到一元二次函数图象,形成类比,并能够准确区分y＝0,y＞0,y＜0在坐标系中的几何意义．

生3:我觉得这两个问题的意思是一样的,只是一个是从几何角度提出的,一个是从代数角度提出的．解答这道题我觉得画图更直观,该抛物线与x 轴相交于(－2,0)和(3,0),而且开口朝上,只要把图象画出来,所要求的解集都能够很快写出来．

师:没错,你的理解很透彻,说得很好!

那大家想想一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系该怎么理解呢?

设问意图:如图1,设计这一环节的目的是为了引导学生概括出三个“二次”之间最本质的关系,提炼出一般观念:函数是核心、运算是基础、图象是载体．让学生经历从特殊到一般的认知过程,培养学生数学抽象、逻辑推理和直观想象等核心素养．

图1

4.3 例题探究

例1若不等式x2－bx ＋c＞0 的解集是{x|x＜1或x＞3},求b 与c 的值．

生4:由题意知1和3是方程x2－bx＋c＝0的两个根,代入得方程组

生5:由题意知1和3是方程x2－bx＋c＝0的两个根,根据根与系数的关系可得解得

设计意图:加深学生对二次函数、一元二次方程以及一元二次不等式关系的理解,强化三者图象与代数之间的转化关系,并渗透极限认知．

4.4 变式提升

例2若不等式ax2＋2x－1＝0(a≠0)有一个根大于2,另一个根小于2,求实数a 的范围．

生6:也可以利用例1的解法,继续沿用根与系数的关系解题．不妨设两根分别为x1,x2,于是得(x1－2)(x2－2)＜0,即x1x2－2(x1＋x2)＋4＜0,整理得因 此,a 的 范 围是

设计意图:突出图象的重要性,学会通过图象提炼代数语言,进而进行严谨表述,实现方程与不等式之间的自由转换．

5 对初高中数学课程衔接的几点思考

5.1 教师应增强衔接意识

初中和高中教学在看似自然顺畅衔接的背后时常有很多容易被忽略的地方,比如在讲授数列求和时,很多教师都会直观认为1＋2＋3＋…＋(n－1)＋学生都已经掌握了,实际上笔者经历几轮循环教学,发现至少有五成以上的学生是不知道这个公式的．绝大部分教师没有这种衔接的意识,只是纯粹地认为衔接就是将高中常要用到但初中没有教的公式或定理给学生补充完善一下,这种想法是较为粗浅的．

5.2 认真研读教材与考试要求,避免“想当然”

现在较少有完全中学的办学形式,不仅是校区上完全不在一起,而且就连教育主管部门组织的培训几乎也都是分开的．这样减少了初中和高中教师交流学习的机会,高中教师常年任教高中学段也就造成了很少接触到初中教材与教参,在教学中遇到一些问题,会直接将责任归咎于初中教师没有讲透,而本质上可能是学生在初中根本就没有学过,仅仅是高中教师认为学生应该学过,极容易造成经验主义错误．

5.3 研究生源结构,把控学情,精准衔接

各校在高中招生时,实际上已经进行了分层,那么自己学校的新生数学能力和水平是哪个层次,来自哪些学校,这些学校的教学是重基础概念认知、素质的培养、还是重应试等是需要教师了解的．不同层次的学生在数学学习中的差异明显,这些都会影响到教师的授课广度与深度,那么在对学情进行准确掌握的基础上可以进行精准衔接,有利于控制课程讲授的速度与难度．