从“蚂蚁离巢”问题谈令人“糊涂”的图像面积

王 建 曹 鹏 王家勋

(1. 重庆市江津中学,重庆 402260; 2. 重庆市实验中学,重庆 401320)

1 问题的提出

文献[1-6]研究了如下问题:蚂蚁离开蚁巢沿直线爬行,其速度大小与到蚁巢中心的距离成反比.当蚂蚁爬到距巢中心的距离L1=1 m的A点时,速度是v1=2 cm/s.蚂蚁继续爬行到距巢中心的距离L2=2 m的B点,试问:蚂蚁从A点爬到B点需要多长的时间?

这是一道经典的速度随时间非线性变化的运动学习题,最具代表性的解法是运用化曲为直的思想,巧妙地选取横纵坐标构建线性函数表达式,再通过计算线性图像与坐标轴所包围的面积来求解变速运动的时间.

图1

图3

上述分析和求解过程,疑点颇多,笔者认为需要明确以下两个问题: (1) 图像与坐标轴所围成的面积如何生成?(2) 因坐标轴的含义不同,生成的面积是否具有物理意义?

2 面积的数理涵义

2.1 定积分与面积

图4

2.2 图像面积有物理意义的准则

图像面积是否具有物理意义,判据就是看该面积是否对应某一明确的物理量.具体表述如下:当且仅当微元面积yi·Δxi(或xi·Δyi)对应某一可加的物理量ΔPi,则图线与横轴(或纵轴)包围面积就表示物理量P.

例如,v-t图中,微元面积vi·Δti对应可加性的元位移,所以图线与横轴包围面积表示总位移.而q-t图中的qi·Δti或ti·Δqi以及I-U伏安特性曲线中的Ii·ΔUi、Ui·ΔIi均无具有可加性的物理量与之对应,故两种图线与横轴、纵轴包围面积都没有物理意义.

3 常见错误的解析

图5

4 相关面积的联系

4.1 “歪打正着”的缘因

图7

文献[2]错误地把面积SA当成时间为何也得到正确的结果?任意图像是否都有此结论?文献[4-6]均略有提及,本文进一步作图说明.如图7所示,在正比例函数图像的前提下,因矩形被对角线分为两个全等的直角三角形,即SA+SC=SB+SD.又SC=SD,则有SA=SB.但是不过原点的线性图像以及非线性图像,如图8、9所示,均不能得到上述结果.文献[2]之所以“歪打正着”仅是正比例函数图像这一特殊情况下的巧合.

图8

4.2 数形结合揭示相关面积的联系

图10

图11

综上所述,图线与坐标轴包围面积是否有物理意义,归结为相应的微元面积是否对应明确的可加性物理量.有时可以通过面积之间的数值联系去间接求解某物理量,但到底是哪块面积表示该物理量,理应做到不犯糊涂,心中有数,而不应该只从数值结果上去认识和对待.