基于分段幂次函数滑模观测器的永磁同步电机速度控制

田其章，文定都，刘建华，周志宇，罗 达，张 阳

（湖南工业大学 电气与信息工程学院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

永磁同步电机（permanent magnet synchronous motor，PMSM）具有运行效率高、损耗小、体积小、功率因数高，以及结构简单等优点[1]。因此，永磁同步电机在交流驱动和控制领域得到了广泛的应用[2]。在传统的PMSM 控制中，为了提高永磁同步电机的精确控制，需要对电机安装位置传感器和速度传感器，这些传感器不仅增加了电机的体积，而且降低了控制系统的鲁棒性，因而使得永磁同步电机的应用受到了一定的限制[3]。因此，近年来，永磁同步电机的传感器控制研究，成为了国内外相关学者们研究的热点领域之一[4]。

目前，常见的无传感器控制方法，主要有高频注入法[5]、卡尔曼滤波器法[6]，以及滑模观测器（sliding mode observer，SMO）估算法[7]。采用滑模观测器时因其会有抖振现象产生，从而会影响观测精度，为了解决滑模观测器中固有的抖振问题，文献[8]利用sigmoid 函数代替开关函数，从而抑制了抖振现象，但是无法保证控制系统的鲁棒性。文献[9]在滑模观测器中设计了具有变截止频率的低通滤波器，有效地抑制了系统抖振现象。文献[10]采用扩展卡尔曼滤波器对电机反电动势进行了观测与滤波，达到了抑制抖振的效果。文献[11]在传统滑模观测器的基础上引用了指数趋近律，设计了一种新型的趋近律，达到了降低系统抖振的目的。文献[12]采用分数阶滑模，有效地削弱了系统抖振现象。文献[13]采用具有非奇异终端滑模的低通滤波器进行观测，并且将其和传统的滑模观测器进行了对比分析，证明了该观测器在抑制抖振方面有了明显的改善。

本文拟针对传统滑模控制中存在的抖振现象，提出一种新型的滑模观测器。所提出的观测器在传统滑模观测器的基础上，构造了一种新型的S 函数，以有效地抑制滑模固有的抖振问题。同时，为了进一步提高永磁同步电机的动态跟踪性能，加入了滑模控制器，以提高调速系统的收敛速度和控制性能。最后，通过理论分析与实验仿真对比，证明了所提出的新型滑模观测器结合滑模速度控制系统的收敛迅速、控制性能较高，能有效地削弱滑模观测器中固有的抖振问题，且具有很强的鲁棒性。

2 PMSM 数学模型

表贴式PMSM 在两相静止αβ 坐标系下的电压方程如下：

反电动势方程如下：

式（1）（2）中：

uα、uβ分别为两相静止αβ 坐标系下的定子电压；

iα、iβ分别为两相静止αβ 坐标系下的定子电流；

R 为定子电阻；

Ls为定子电感；

eα、eβ分别为αβ 坐标系下的电机反电动势；

ψf为永磁体磁链；

ωr为转子转速；

θ 为转子位置信息。

由式（1）可以得出PMSM 在两相静止αβ 坐标系下的电流方程如下：

3 滑模观测器的设计

根据电流方程式（3）和滑模变结构控制基本原理，定义滑模结构控制的切换函数如下：

式中：x 为状态向量；

以估测电流与实际电流之间的误差构成的切换面，为

3.1 传统滑模观测器

根据式（3）与滑模变原理，设计传统滑模观测器的电流方程如下：

sgn( )为开关函数；

ks为滑模观测器切换增益。

由式（6）与式（3）作差，可以得到如下定子电流的误差方程：

当系统存在并且稳定运行于滑模面时，S(x)=0，可得：

通过滤波后，根据公式（2）与公式（8），即可以从反电动势中提取估算的转子位置信息以及转子的电角速度：

式（9）（10）中：θe为转子位置估算的角度；

ωe为转子估算的电角速度。

通过上述推导，可以得到传统滑模观测器的原理图，如图1 所示，图中s 为拉普拉斯变换复频域变量。

图1 传统滑模观测器原理图Fig.1 Schematic diagram of a traditional sliding mode observer

3.2 新型滑模观测器

由于传统滑模观测器中存在固有的抖振现象，高频率抖振不仅会增加系统能耗，而且会直接影响观测精度，为了削弱系统中存在的抖振现象，本文设计了一个分段幂次函数，其公式如下：

式中：b 为边界层厚度；

x 为观测电流值和实际电流值之间的误差。

由式（10）可以看出，系统的稳定性和曲线的斜率有关，故可以通过改变常数b 的值来检测对系统的优化效果以及反电动势的稳定性程度，改变后发现，当b 的取值为0.001 时，其对该系统的优化和稳定反电动势具有最佳的效果。该函数在不同b 值下的曲线如图2 所示。

图2 不同b 值下的分段幂次函数Fig.2 Piecewise power function with different b values

根据式（2）（3）（6）（11），可以推算出新型滑模观测器的数学模型，为

通过式（12）构成的新型滑模观测器滤波后，可以从反电动势中提取出估算的转子位置信息以及转子速度。

新型滑模观测器的原理图如图3 所示。

图3 新型滑模观测器原理图Fig.3 Schematic diagram of the new sliding mode observer

3.3 新型滑模观测器的稳定性证明

为了证明新型滑模观测器的稳定性，选取李雅普诺夫函数：

式中V 为 Lyapunov 函数。

要使得新型滑模观测器稳定运行，则其导数应该满足：

从而可得：

4 滑模速度控制器的设计

本研究是在表贴式PMSM 下设计滑模控制器，首先在两相旋转坐标d-q 轴系下建立如下永磁同步电机的数学模型：

式中：ud、uq分别为定子电压在两相旋转坐标d、q轴下的分量；

id、iq分别为定子电流在两相旋转坐标d、q 轴下的分量；

pn为电机相数；

J 为转动惯量；

TL为负载转矩；

B 为转矩阻尼系数。

本文根据表贴式PMSM 的特点，选取了id=0 的矢量控制策略。此时式（22）的数学模型变为

定义永磁同步电机系统的状态变量为

式（23）（24）中：ωref为电机的给定转速；

ωm为实际转速。

将式（23）和式（24）联立可得：

即

对于转速滑模控制器，选取滑模面函数为

式中，c 为设计参数，且c＞0。

对式（28）求导，可得：

选择如下指数趋近律：

式中，ε、q 均为设计参数，且ε＞0、q＞0。

由式（29）与式（30）可得：

由式（31）可得u 的表达式为

从而可得到q 轴的参考电流为

根据式（33）可以得出，q 轴的参考电流控制器中包含有积分项，一方面，它可以加快初始转速的响应速度，减小调节时间；另一方面，它可以减少系统的抖振现象。而由滑模的可达性条件，容易验证在控制器（如式（33）所示）的作用下，系统将逐渐趋于稳定。

5 控制系统建模仿真与分析

5.1 仿真模型的搭建

为了验证上文中所给出的滑模速度控制器的正确性，接下来根据滑模面函数式（28）以及q 轴的参考电流表达式（33），在Matlab/Simulink 环境下，搭建了滑模速度控制器的仿真模型，具体如图4 所示。仿真模型中，滑模速度控制器的参数设定如下：c=50，ε=180，q=300。

图4 滑模速度控制器仿真模型Fig.4 Sliding mode speed controller simulation model

基于新型滑模观测器结合滑模控制器的永磁同步调速系统的控制原理图如图5 所示，基于新型的滑模观测器永磁同步电机的仿真模型如图6 所示。在该新型滑模观测器中，采用分段幂次函数代替开关函数后的部分仿真模型图如图7 所示，其中的参数设置如下：常数b=0.001，增益ksw=73.5，低通截止滤波器f =20 000。

图5 基于新型滑模观测器结合滑模控制器的永磁同步调速系统控制原理图Fig.5 Schematic diagram of permanent magnet synchronous speed control system based on a new sliding mode observer combined with sliding mode controller

在本研究中，三相永磁同步电机仿真的电机参数设置如下：极对数Pn=4，定子电阻R=2.875 Ω，定子电感Ls=8.5 mH，转动惯量J=10-3kg·m2，磁链ψf=0.175 Wb，阻尼系数B=0.008 N·m·s。系统的具体仿真条件设置如下：直流侧的电压Udc=311 V，PWM 的开关频率fpwm=10 kHz，仿真时间设为0.2 s，给定的初始转速为1 000 r/min，并且在0.05 s 时突加5 N·m 的负载转矩。

图6 基于新型滑模观测器的永磁同步电机仿真模型Fig.6 Simulation model of permanent magnet synchronous motor based on a new sliding mode observer

图7 新型滑模观测器中使用分段S 函数部分仿真模型Fig.7 Partial simulation model using piecewise S function in the proposed sliding mode observer

5.2 仿真结果与分析

基于传统滑模观测器和基于新型滑模观测器的PMSM 仿真结果如图8～10 所示。其中，图8 为传统滑模观测器的转速仿真波形与新型滑模观测器的转速仿真波形，图9 为传统滑模观测器与新型滑模观测器结合滑模速度控制器的三相电流仿真曲线，图10为传统滑模观测器与新型滑模观测器结合滑模速度控制器的转速误差仿真曲线。

图8 滑模观测器的转速仿真波形Fig.8 Speed simulation waveforms of sliding mode observer

图9 滑模观测器的三相电流仿真曲线Fig.9 Three-phase current simulation curves of sliding mode observer

根据图8 所示滑模观测器的转速仿真波形可以得知，传统的滑模观测器在转速观测过程中，超调现象较为严重，电机的转速从0 r/min 上升到给定转速1 000 r/min 的调节时间较长，达到给定转速后的抖振现象较大，系统稳定性较差，突加负载后的超调量σ=2.5%；而新型观测器结合滑模速度控制器在转速观测过程中，其超调量非常小，电机的转速从0 r/min上升到给定转速1 000 r/min 的调节时间很短，具有良好的动态响应速度，达到稳定后，抖振现象非常小，突加负载后的超调量σ=1.5%。

由图9 所示的滑模观测器的三相电流仿真曲线可以得知，传统的滑模观测器估算出的三相电流可以呈现出基本的正弦波形，但是整个波形的波动幅度非常大，并且在突加负载后，三相电流恢复的速度较慢；而基于新型滑模观测器的三相电流呈现为标准的电流正弦波形变化，并且在突加负载后，三相电流的恢复速度非常快。

图10 滑模观测器的转速误差仿真曲线Fig.10 Simulation curves of rotational speed error of sliding mode observer

由图10 所示滑模观测器的转速误差曲线可以得知，传统滑模观测器的实际转速与估测转速的误差在-5～10 r/min 大范围内剧烈波动，抖振现象非常严重；而新型滑模观测器的实际转速与估测转速的误差在-1～2 r/min 范围内波动，抖振现象很小，且相较于传统滑模观测器，新型滑模观测器在应对突加负载时，转速误差变化较小。

根据上述仿真结果与分析可以得知，传统的滑模观测器产生的超调现象较为严重，系统动态响应速度较慢，抖振现象较严重，且突加负载时，系统抗干扰能力较差，调节时间较长；而新型滑模观测器结合滑模速度控制器产生的超调量较小，系统具有良好的响应速度，抖振现象很小，当突加负载时，系统具有良好的抗干扰能力。

6 结语

本研究采用分段幂次函数设计了一滑模观测器，提出了一种基于新型的分段幂次函数的滑模观测器结合滑模速度控制器的调速控制系统。经过仿真试验验证，发现相对于传统的滑模观测器调速系统，基于新型的滑模观测器结合滑模速度控制器的调速系统，在电机控制过程中，无论是在抗干扰能力、超调量、动态响应速度方面，还是维持三相电流稳定方面，都具有一定的优势。在整个仿真试验中，基于新型的滑模观测器结合滑模速度控制器的调速系统，能够明显地削弱抖动现象，增强了系统的抗干扰能力。因此，证明了所提出的新型的控制系统的鲁棒性较强，达到了预期的设计目的。