基于CEV过程带交易费的脆弱期权定价的数值算法

王 越， 周圣武

(中国矿业大学 >数学学院，江苏 >徐州221000)

1 引 言

脆弱期权是指在场外市场(OTC)交易的带有信用风险的期权. 由于场外市场没有特定的监管机构，从而导致期权多头方遭受违约风险的可能性显著增大，因此对脆弱期权进行合理的价值评估既具有现实意义也具有理论意义.

Johnson和Stulz[1]首次提出脆弱期权概念，他们在Merton[2]公司债券定价模型的基础上，引入了违约风险. 在后续的研究中，学者们多采用结构化模型[3-4]和简约化模型[5-6]处理脆弱期权的定价问题，得到了一系列理论成果. 王磊等[7]采用PDE方法对随机波动率下的脆弱期权定价问题进行建模，得到了脆弱期权的价值所满足的偏微分方程模型. 袁国军等[8]利用无套利原理和半离散差分方法，给出了CEV过程下脆弱期权定价模型的数值解法. 杨佳会[9]采用Hull-White随机波动率模型研究了带有交易费用的脆弱期权定价问题，并给出了数值算法.

CEV模型是指常方差弹性方程模型，最早由Cox和Ross提出用来刻画波动率的“微笑”特征[10].基于CEV模型的美式期权[11]、亚式期权[12]、多资产期权[13]、回望期权[14]、交换期权[15]和两值期权[16]等金融衍生产品定价问题的研究已经取得了一些有意义的结果. 杜淼蓉[17]采用有限元算法给出了CEV过程下带交易费的期权定价数值解法. 郭宗怀等[18]针对CEV模型下支付红利的美式看跌期权的定价问题，推导了CEV模型遵循的变分方程，得到了相应的显式差分格式，并验证了其算法的有效性. 曹桂兰等[19]应用跳过程的伊藤公式和Feller引理得到了风险中性测度下基于CEV跳扩散过程的欧式看涨期权的定价公式.

本文研究基于CEV模型且支付交易费用的脆弱期权定价问题，通过构造无风险投资组合建立CEV模型下支付交易费用的脆弱期权定价模型，然后应用有限差分方法将定价模型离散化，给出数值算法，最后通过数值试验分析对手方资产价值、距离到期日的时间、执行价格、交易费率、弹性因子、波动率弹性、公司负债和相关系数对脆弱看跌期权价值的影响.

2 基于CEV过程带有交易费用的脆弱期权定价模型

2.1 模型假设

假设脆弱期权的标的资产价格St服从CEV过程，对手方资产价值Vt服从几何Brown运动，即St与Vt分别满足随机微分方程

(1)

(2)

本文还用到以下基本假设：

(i) 无风险利率r为常数；

(ii) 在期权有效期内标的资产无红利支付和税收；

(iii) 市场不存在无风险套利机会且允许卖空；

(iv) 当违约事件发生时，期权空头方资产的回收率为(1-w)VT/D，其中w表示由于空头破产所带来的花费占其资产的百分比，公司负债D为常数；

(v) 存在交易费用，买卖标的资产需要支付一定数量的交易费k|vt|S，其中vt是资产交易份额，当vt<0时表示卖出，当vt>0时表示买入，k>0是每单位资产应支付的交易费，即交易费率.

2.2 模型建立

定理1基于CEV模型带有交易费用的脆弱期权价值Ft=F(St，Vt，t)满足微分方程

(3)

证考虑投资组合Π：

Πt=Ft-Δ1St-Δ2Vt，

(4)

其中Δ1是标的资产数量，Δ2是对手方资产数量. 在[t，t+δt]时间段内，投资组合Π价值的变化量为

δΠt=δFt-Δ1δSt-Δ2δVt-k|vt|St，

其中vt表示资产交易份额，无论资产是买入还是卖出，都按照固定比例k支付交易费用.

由式(1)与(2)可得

(5)

(6)

由δΠt=δFt-Δ1δSt-Δ2δVt-k|vt|St，可得

(7)

这里

由式(7)可得投资组合Π价值变化的数学期望

(8)

根据无套利原理，有E(δΠt)=rΠtδt， 得到CEV模型下带有交易费用的脆弱期权价值满足

(9)

整理可得

(10)

证毕.

推论1执行价格为K，到期日为T，基于CEV模型带有交易费用的欧式脆弱看涨期权的价值满足

(11)

推论2执行价格为K，到期日为T，基于CEV模型带有交易费用的欧式脆弱看跌期权的价值满足

(12)

3 基于CEV过程带有交易费用的脆弱看跌期权定价的差分格式

在基于CEV模型带有交易费用的欧式脆弱看跌期权的定价模型式(12)中，做变量变换

则式(12)中的偏微分方程变换成如下形式

(13)

其中

脆弱看跌期权在T时刻的价值为

计算区域为

H={(x1，x2，τ)|xmin≤xi≤xmax， 0≤τ≤T，i=1，2}，

其中

x1min=ln(Smin/K)，x1max=ln(Smax/K)，

x2min=ln(Vmin/K)，x2max=ln(Vmax/K)，

xmin=min{x1min，x2min}，xmax=max{x1max，x2max}，

Smin=min{St|0

Vmin=min{Vt|0

下面使用差分格式将方程(13)离散化，首先将区域Ω=[xmin，xmax]×[xmin，xmax]×[0，T]进行剖分：将时间区间[0，T]划分成M个长度为l=T/M的小区间

[0，l]，[l，2l]，…，[(M-1)l，T]，

以h=(xmax-xmin)/N为步长将[xmin，xmax]划分成N个小区间

[xmin，xmin+h]，[xmin+h，xmin+2h]，…，[xmin+(N-1)h，xmax].

空间格点可表示为(x1i1，x2i2，τm)，其中

xjij=xmin+(ij-1)h，τm=(m-1)l，j=1，2，1≤ij≤N+1，1≤m≤M+1.

将上述差分格式代入式(13)，可得

(14)

这里

边界条件为

具体算法如下：

4 数值试验

考虑一只欧式脆弱看跌期权，假设各参数取值如下：

V0=100000，K=100，D=10000，T=1，r=0.04，ρ=0.5，σS=σV=0.2，w=0.4，k=0.02，α=0.6.

应用上节数值算法进行数值试验，分析交易对手方资产价值V、距离到期日的时间τ、执行价格K、交易费率k、波动率弹性σS、弹性因子α、公司负债D和相关系数ρ对期权价值的影响.

图1给出了标的资产价格、交易对手方公司资产价值与脆弱看跌期权价值的共同变化关系. 从图中可以看出，期权价值随着标的资产价格的增大而减小，随着交易对手方公司资产价值的增大而增大. 从金融意义上看，当对手方公司资产价值增加时，其违约的可能性减小，因此脆弱期权的价值增大，这一数值结果符合实际交易市场的规律.

图2给出了标的资产价格、距离到期日的时间与脆弱看跌期权价值的共同变化关系. 从图中可以看出，期权价值随着标的资产价格的增大而减小，随着距离到期日时间的增大而增大.

图3给出了标的资产价格、执行价格与脆弱看跌期权价值的共同变化关系. 从图中可以看出，期权价值随着标的资产价格的增大而减小，随着执行价格的增大而增大.

图4给出了当交易费率k分别为0，0.02，0.04时，标的资产价格和脆弱看跌期权价值之间的关系. 结果表明，交易费用的存在增加了投资成本，当交易费率增大时，期权价值将减小.

图3 标的资产价格和执行价格对脆弱看跌期权 图4 交易费率对脆弱看跌期权价值的影响价值的影响

图5 弹性因子对脆弱看跌期权价值的影响图6 波动率弹性对脆弱看跌期权价值的影响

图5给出了弹性因子α对脆弱看跌期权价值的影响. 结果表明，CEV过程下有交易费用的脆弱看跌期权的价值比标准期权(当α=1时)价值低.

图6给出了当波动率弹性σs分别为0.2，0.4，0.6时，标的资产价格和脆弱看跌期权价值之间的关系.结果表明，当弹性因子确定时，波动率弹性越大，标的资产的波动率就越大，期权价值就越大.

图7 公司负债对脆弱看跌期权价值的影响图8 相关系数对脆弱看跌期权价值的影响

图7给出了当公司负债D分别为1.0×105，2.0×105，3.0×105时，标的资产价格和脆弱看跌期权价值之间的关系. 结果表明，随着公司负债的增大，实际金融市场发生违约的可能性增大，因此期权价值随之减小.

图8给出了当相关系数ρ分别为-0.5，0，0.5时，标的资产价格和脆弱看跌期权价值之间的关系.结果表明，当固定标的资产价格时，期权价值随着相关系数的增大而增大.

5 结 论

本文通过构造无风险投资组合研究了基于CEV过程带有交易费的脆弱期权定价问题. 应用有限差分方法给出定价模型的数值算法，并以看跌期权为例进行数值模拟. 试验结果表明：期权价值与交易对手方资产价值、距离到期日的时间、执行价格、波动率弹性、相关系数成正相关关系，与交易费率、公司负债成负相关关系. 特别地，当弹性因子α=1时，得到标准模型下带有交易费的脆弱期权定价模型.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.