浅析数形结合数学思想和方法在教学中的应用

俞咏华

【摘 要】本文简要介绍数形结合数学思想和方法的重要性，以及数形结合在初中数学教学中常见的应用类型，通过归纳解析数形结合在解题中常见的应用类型，以进一步提高数形结合的应用能力，培养学生数学思维和解决问题的能力。

【关键词】数形结合;数学思想方法;应用

在初中数学教学中，合理有效的运用数学思想和方法，可以有效培养学生的思维能力，提高学生解决数学问题的能力。日本数学教育家米山国藏指出，学生在进入社会以后，如果没有什么机会应用数学，那么，作为知识的数学，通常在学生走出校门后不到一、两年的时间就会忘掉。然而不管他们从事什么业务、工作，那种铭刻在他们脑中的数学精神和数学思想方法，会长期地在他们的生活和工作中发挥重要作用。数学作为一门思维科学，培养和提高学生的思维能力是数学教学的核心。那么，在我们现实的初中数学教学中，我们如何培养和提高学生数形结合的数学思想和方法呢？

一、数形结合数学思想在数学教学中的重要作用

所谓数学思想，就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们意识之中，经过思维活动而产生的结果。通过对数学思想的培养，学生的数学能力会有大幅度的提高。数形结合通过数与形之间的联系与相互转化关系，可以将所要研究、解决的问题化难为易，化繁为简。

（一）数形结合有助于提升学生理解掌握数学概念的能力

著名数学家华罗庚先生曾指出：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞， 数缺形时少直观，形少数时难入微。”数学中的定义、概念和定理等都是抽象的，这些抽象的内容是数学教学中的重点和难点。在学生获得知识与解决问题的过程中，仅仅借助语言表达和文字叙述来实施教学活动，会给学生一种单调、乏味、枯燥、难懂的感觉。利用数形结合的思想和方法，根据解决问题的需要，将抽象的数学语言与直观的图形符号结合起来，把数量关系的问题转化为图形问题去讨论，把图形问题转化为数量关系的问题来研究。简言之，就是“数形相互取长补短”。这种转化抽象为具体的数形结合的思想过程，不仅可以揭示数学概念的来龙去脉，还可以帮助学生理解和掌握数学概念。平时教学活动中如果为定义或概念赋予相应的图形和信息，可以协助学生利用图形信息来理解、记忆概念，并能有效引导学生经历知识形成的过程，在观察、操作、分析、抽象、概括的过程中体会知识负载的方法，体会数学蕴涵的思想。从而促进学习活动中对相关性质的灵活应用。这样，学生所理解和掌握的知识就是鲜活的，也是可迁移或转化的。学生对数学的认知会得到一定的提升，数学素质能得到质的飞跃，教学过程无疑达到举一反三，事半功倍的效果。

（二）数形结合有利于学生优化发展认知数学问题的能力

在日常生活中，处处离不开数学模形，时时离不开数学问题。如我们教室里每个学生所在的坐位，路边人们对弈时常见的棋盘，以及人们居住的生活小区等等，都是由数学中常见的点、线、面组成的图形。利用学生对这些生活中常见物体的认知基础，把生活中的形与数相结合迁移到数學中来，在教学中进行数形结合思想的渗透，可以有效的帮助学生理解数与数轴的关系，建立有序实数与平面直角坐标系的对应关系，有利于优化学生从数轴到平面直角坐标系是从一维到二维变迁的数学认知结构，并由此向多方面的数学知识点迁移和深化。利用学生身边的物体都具有一定形体的特性，如刻度尺、温度计及其上面的刻度，再如一元一次不等式的解集与一次函数的图象，二元一次方程组的解与一次函数图象之间的关系，一元二次方程的解与二次函数图象之间的关系等等，通过数形结合使学生对“实数”、“整式”、“分式”、“不等式”、“方程”、“函数”等数学知识整体化、系统化，让学生在各种知识背景下提取有用的信息，且能从 “数”与“形”两个维度去考虑解决问题，逐渐培养发展学生思维的流畅性和灵活性，优化提高学生认知数学和解决数学问题的能力。

（三）数形结合有利于激发学生学习数学的爱好兴趣

爱好和兴趣是每个人最好的老师。在数学教学中，学生普遍认为数学难学且单调和枯燥，因此缺乏学习兴趣。如何激发学生对数学的求知和探索欲望，培养学生学习数学的兴趣呢？教学实践证明，通过数形结合的思想和方法，将单调和枯燥的数学教学变得更具趣味性和生动性。例如，现在中学教材的每一章开头都有一幅插图、例题和习题，我们平常看到的其他许多教材的封面，也都体现了数与形结合的特点。在教学中，可以充分利用这些图形，结合实际生活的例子，让学生在生活中感受到数学，在现实中能够看到实物，想到实物所具有的形象与特征，这样学生学起来就感兴趣，而且会记得牢固。用数形结合帮助学生产生直观认识，激发学生学习数学的兴趣。此外，数学本身是一门融合了各种美感的学科，其中包括对称美，旋转美，简洁美、和谐美等等，我们在教学过程中，应把握好这些美感，在讲解知识点和解题方法时，利用数形结合思想和方法，唤起学生对数学美的追求。让这些美感在图形上的体现更为直观、更为动人。让学生经历直观图形、形象概括、本质抽象的过程，充分享受数学的美，感受数形结合的好处，提高对数学学习的兴趣。这样，学生会把学习数学当作一项愉悦和满足来享受，而不再会把学习数学当成一种负担和包袱来应付。

（四）数形结合有助于培养和提高学生的思维能力

第一，数形结合思想有助于培养学生的形象思维能力。数形结合丰富了图象信息的储备，而图象信息的发展过程可以促进学生对图形的认识能力，促进学生形象思维的发展。第二，数形结合有助于提高学生的直觉思维能力。运用数形结合解题直观地看到问题的结果，许多疑难数学问题的解答过程，一般都要先从几何图形分析入手，然后进行逻辑推理和证明及计算，进而使问题得以解决。第三，数形结合有助于提高学生的抽象思维能力。在解决数学问题的过程中，根据数学问题的数量关系与图形之间的联系，把形的问题转化为之相对应的数的问题，或把数的问题转化为之相对应的形的问题，这种数与形、形与数之间的不断转化和翻译，学生的思维由抽象概念向具体形体转化，再从具体形体向抽象概括翻译的过程，也是提高学生抽象思维能力的过程。

二、初中数学教学中数形结合思想方法常见应用及解析

问题是数学应用中的核心所在，提出问题并解决问题是推动数学发展的内在动力。古人讲“工欲善其事，必先利其器”。数形结合是解决数学问题的一个重要工具，也是中学数学中极为重要的基本方法之一。数形结合可使复杂问题简单化、抽象问题具体化，是优化解题过程的重要途径之一。

（一）数形结合解决问题常见的两种类型

一种是以数解形。就是通过已知的数据，借助所给的图形，来分析、观察数与形的关系，进而找出图形中所蕴含的数量关系，从而得出或反映几何图形内在的变量及属性。另一种是以形助数。就是根据题目所给的数量条件，绘制出相应的图形，再由图形反映出来相应的数量关系，进一步解答数与式之间的关系。

（二）数形结合思想方法的主要应用类型

在初中数学的教学中，常用的“数形结合”思想和方法主要应用有以下几种情形：

1.数形结合在解不等式中的应用

例1：已知关于x的不等式组的整数解共有x-a>02-x>02个，则a的取值范围是       。

这道题学生很容易解得不等式组的解集为x>ax<2我们可以利用数轴的直观特点，将x<2标注在数轴上，分析要使得不等式组有2个整数解，由图象可知整数解为0，1，则a应在-1～0之间，且可以等于-1，但不能为0，所以a的取值范围是-1

2.数形结合在解方程中的应用

例2：根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围（   ）

A.6

B.6.17

C.6.18

D.6.19

一般地，学生对于这样的题目，首先想到的是求出二次函数的解析式，从而得出一元二次方程，再解一元二次方程。此方法在解决本题中明显存在较大难度且不易行得通。我们不妨利用ax2+bx+c=0（a≠0）的解为二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标，结合二次函数的草图，不难分析得出（6.18，-0.01）在x轴的下方，而（6.19，0.02）在x轴的上方，推出与x轴的交点在（6.18，0）与（6.19，0）之间，所以不难得出x的一个解范围为6.18

3.数形结合在解函數问题中的应用

例3：如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于A、B两点，与y轴交于C点，与x轴交于D点，OB=，tan∠DOB=。

（1）求反比例函数的解析式;

（2）设点A的横坐标为m，△ABO的面积为s，求S与m之间的函数关系式;并写出自变量m的取值范围。

（3）当△OCD面积等于时，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上所截线段长度能否等于3？如果能，求出此时抛物线的解析式;如果不能，请说明理由。

解此题，学生会显得有些吃力。如果引导学生利用反比例函数、一次函数、二次函数图象及三角形面积及三角函数对应的图形等知识，灵活运用数形结合的数学思想方法，此类问题便可迎刃而解。

4.数形结合在解几何证明题中的应用

例4：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，CD=5，BC=10，梯形的高为4。动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动。设运动的时间为t（秒）。

（1）当MN∥AB时，求t的值;

（2）试探究：t为何值时，△CMN为等腰三角形。

此题在解答时应在梯形图形与相似三角形的基础上，把具体的数标示到图形上，运用数形结合的思想方法，将具体的线段转为数与式，从形得比例式，再将比例式化为方程，解出方程，从而得出形的答案。

5.数形结合在解决实际问题中的应用

例5：某市政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯。销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似看作一次函数：y=-10x+500。

（1）设李明每月获得利润为ω（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）

在解答此题时，不妨运用函数图象，结合形的思想找寻符合题意的点与段，再由点与段转成方程或算式，从而求得此题合适的答案。一般地，一时难以下手的题目，如果能从数形结合的思想方法入手，很多问题会变得具体简单，为学生解题提供可行性的思路和方法。

总之，数形结合思想在数学解题中的应用很广泛，几乎渗透在所有学习新知识，以及应用知识解决问题的全过程之中。只要我们教师在平时的教学工作中，多注意数形结合的应用，有意识地加强这方面的训练，一定会提高自身运用数形结合解决数学问题的能力，也一定会培养学生学习数学全面的思维能力，提高学生运用数学解决问题的能力和水平。

【参考文献】

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[3]章建跃，朱文方.中学数学教学心理学[M].北京：北京教育出版社，2010.1