突出坐标法培养迁移拓展能力

刘欣欣

摘 要：从教材中的例题练习迁移到高考题是复杂的思维进阶的过程，对思维、能力都有很高的要求，教师一定要花费时间去研究高考试题和教材的暗线联系。这样在复习备考时才能有的放矢，运用恰当的教学手段和自身对高考、对教材的理解，逐步培养学生在问题中进行信息提取、归纳、反思的能力，引导学生去进行问题的迁移拓展，从而提高学生独立思考和解决问题的能力，达到锻炼思维层次的目的。

关键词：迁移拓展;坐标法

一、从教材中寻找高考的母体进行迁移

以人教A版选修2-1教材41页例题3为母题进行分析与迁移，由教材问题逐渐向高考试题迁移变式，读者可以去体会整个过程中坐标法的重要性。

题目：如图1，设点A，B的坐标分别为（-5，0）（5，0）。直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程。

分析：利用坐標法，由已知得，化简得点M的轨迹方程为。

试题评述：人教A版2-1教材中类似问题设置了一道例题四道练习题：42页练习题第4题，74页习题2.4B组第3题，80页复习参考题A组第10题，81页复习参考题B组第5题，这几道题目非常相似，分别从动点与两个定点连线斜率的和、差、积、商为定值来研究动点的轨迹方程，重在让学生体会坐标法求轨迹方程的应用，这道例题解完后如果我们再稍作思考是否会有这样的疑问和猜想：若已知点A，B是椭圆长轴的两个顶点，点M是椭圆上的异于A，B的任意一点，可不可以得到AM，BM的斜率之积为定值呢？

下面我们进行迁移拓展提出问题1：如图2，已知椭圆方程为，点A，B是长轴的两个顶点，点M是椭圆上异于A，B的任意一点，求证：直线AM，BM的斜率之积为定值。

证明：设M（x0，y0）

又得：所以直线AM，BM的斜率之积为定值。通过问题1我们不难观察到A，B是关于原点对称的，那么我们继续迁移拓展提出问题2：

如图3，已知椭圆方程为，直线l过椭圆的中心O交椭圆于A，B两点，点M是椭圆上异于A，B的任意一点，求证：直线AM，BM的斜率之积为定值。

证明：因为A，B两点关于原点对称可以设

得：所以直线AM，BM的斜率之积为定值。

我们还发现O是线段AB的中点，于是我们可以继续迁移拓展提出问题3：

如图，已知椭圆方程为，直线l过椭圆的中心O交椭圆于A，B两点，点M是椭圆上异于A，B的任意一点，点N是线段BM的中点，求证：直线ON，BM的斜率之积为定值。

证明：如图4，由问题2的证明过程可知：直线AM，BM的斜率之积为定值，又因为O，N分别为线段AM，BM的中点，所以，所以直线ON，BM的斜率之积也为定值。我们还可以弱化问题3的条件继续迁移拓展提出问题4：

如图，已知椭圆方程为，直线l与椭圆交于点M，B是两点，点N是线段BM的中点，求证：直线ON，BM的斜率之积为定值。

证明：如图5，连接BO并延长交椭圆于点A，再连接MA，由问题2的证明过程可知：直线AM，BM的斜率之积为定值，又因为O，N分别为线段AB，MB的中点，所以ON//AM，所以直线ON，BM的斜率之积也为定值。对于问题3我们还可以迁移得出：同理取线段MA的中点P连接OP，延长OP，ON分别与椭圆相交形成过中心的两条弦，这里两条弦所在的直线斜率之积为定值，这两条弦称为椭圆的共轭直径。

二、高考试题重现感受坐标法带来的迁移变化

关于以上的迁移拓展下的结论在高考试题中出现的频率是比较高的，笔者查阅了近十年的全国各地高考试题，其中2010年上海卷，2011年湖北卷，2012年天津卷，2015年新课标全国2卷都对上面的迁移内容有过考查，下面我们以2015年新课标全国2卷文史类第20题为例体会一下：

题目：已知椭圆的离心率为，点在C上。Ⅰ求椭圆C的方程;Ⅱ直线l不经过原点O，且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值。

解析：本题的第一问属于基础题目，目的是让学生容易登上第一个台阶，顺利过渡到第二问，第二问是中点弦问题常规的处理方式，主要有“点差法”或者“韦达定理法”求解，设A，B坐标代入椭圆方程作差出现弦AB的中点和直线l的斜率;还可以设直线l的方程和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦AB的中点坐标，并寻找两条直线的斜率关系。

解：Ⅰ略。Ⅱ解法：如图6，连接BO并延长交椭圆于点C，再连接CA，因为C，B两点关于原点对称可以设

得：，所以直线AC的斜率与直线l的斜率之积为定值。又因为O，M分别为线段BC，AB的中点，所以OM//AC，所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值。

结束语

本文至此不难体会到整个迁移拓展的过程中坐标法的突出作用，坐标法作为解析几何通性通法中的重要方法，在处理诸如轨迹问题、直线与曲线位置关系、定值定点、最值、取值范围等问题中有着重要意义。本文所研究的问题取材于教材，立足于数学思维的提升，最后剑指高考。整个分析过程充分体现了解析几何的基本思维方式即数与形的相互转化，如果教师能将教材中类似问题深入挖掘，适当迁移拓展，这对学习者来说是非常有效的锻炼思维的方式，也能让学生更加接近高考试题，对学习者的核心素养提高也是有很大帮助的。

参考文献

[1]刘新伟.圆锥曲线中的定值、定点、定线问题[J].高中数理化，2019.

[2]顾剑锋.浅谈迁移理论在圆锥曲线教学中的应用[J].读与写（教育教学刊），2011.

[3]王申怀.人教A版选修2-1教材[M].北京：人民教育出版社，2007.