建立几何直观 理解代数抽象

摘  要：以一节高三向量微专题课为载体，以向量的几何视角为主题，通过解读一系列的高考真题，帮助学生梳理向量与常见几何图形之间的“文、式、图”表征关系. 借助图形解读题意，掌握图解法的一般步骤. 引导学生自主命题，以达到培养学生直观想象素养的目的.

关键词：向量;几何视角;图解法;几何直观

众所周知，向量集数与形于一身，既是一种代数运算对象，又是一种几何研究对象. 它兼具代数的抽象性和几何的直观性. 因此，思考向量问题也就有了代数和几何两种视角，用它来研究问题可以实现抽象思维与形象思维的有机结合.

本文将呈现一节高三向量微专题课，以向量的几何视角为主题，展现如何借助向量的几何直观来帮助学生解决抽象的代数问题，并提升学生的直观想象素养，供大家研讨.

一、一节高三向量微专题课

1. 提出问题，自然导入

师：同学们，我们知道向量是沟通几何与代数的桥梁，处理向量问题有代数与几何两种视角. 那么，一般在什么情况下使用代数视角，什么情况下使用几何视角呢？

学生的回答不一，可以看出学生选择的多样性.

师：不知大家注意过没有，我们在学习向量的表示时，知道向量有小写字母[a，b，c]和大写字母[OA，][ OB， OC]两种表示形式. 那么，当你看到用[a，b，c]写成的题干，你觉得它是一个代数问题还是几何问题？如果题干中全是[OA， OB， OC]表示，它又是哪一类问题呢？

生：看到[a，b，c]容易想成代数式运算，看到[OA， OB， OC]肯定会先画图.

师：确实，向量的表示形式有小写字母（数）与大写字母（形）两种. 若用大写字母的表示形式替换小写字母的表现形式，即令[a=OA，b=OB，c=OC]，那么题目就自然而然地用几何方法解决，我们把这样的技巧称为“以大换小”. 几何法是研究向量问题的一种强有力的武器，这节课我们就一起来学习这种方法.

2. 高考题源，探寻元素

师：向量的几何法首要是画图. 下面我们就一起先来看看曾经的那些图形，找找那些熟悉或不熟悉的几何元素.

模型1：静态——向量加减，图形运算，定性分析.

例1  设向量[a，b，c]满足[a+b+c=0， a-b⊥c，][a⊥b].

教师用PPT投影一半题干，引发学生疑惑.

生：老师，题目没有全部呈现.

师：我是故意的. 同学们知道这部分题干所表达的几何含义吗？请用“以大换小”的方法构造满足上述关系的图形.

生：令[a=OA，b=OB，c=OC]，如图1所示.

师：几何表达能让我们知道抽象的代数式究竟表达何种意思，是抽象到直观的必经之路，所以也是处理向量问题的上佳选择.

师生活动：教师故意采用题干与结论分离呈现的方式，引导学生重视将代数题干转译为几何图形.

教师用PPT投影剩余题干：若[a=1]，则[a2+] [b2+c2]的值为______.

生：正方形两条边长的平方与对角线平方的和，等于4.

师：很好，我们一起共同回顾一下刚才的处理过程.

第一步，以大换小，将题干所给的向量条件转化为图形，利用向量加、减的几何表示，刻画出了正方形这一几何图形，是定性分析.

第二步，有了[a=1]，模长的引入使得问题得以进行定量的计算.

模型2：圆形——模长固定，定角定边，圆来如此.

例2  已知[a，b]是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量[c]满足[a-c · b-c=0]，则[c]的最大值是      .

解：因为[a-c · b-c=0]，即[CA · CB=0]，

所以点[C]在以[AB]为直径的圆上运动，如图2所示.

所以[c=OC≤2].

例3  已知[a，b]是两个互相垂直的单位向量，若向量[c]满足[c-a-b=1]，则[c]的取值范围是______.

解：因为[c-a-b=c-a+b=1]，即[OC-OD=][DC=1，]

所以点[C]在以[D]为圆心、1为半径的圆上运动，如图3所示.

所以[c=OC∈2-1， 2+1].

例4  已知两个平面向量[a，b ][a≠0，a≠b]满足[b=1]，且[a]与[b-a]的夹角为[120°]，则[a]的取值范围是      .

解：令[a=OA，b=OB]，則[OB=1，∠OAB=60°.]

所以点[A]在如图4所示的两段圆弧上，外接圆直径[2R=1sin60°=233].

所以[a=OA∈0， 233].

师生活动：教师呈现三道问题，让学生独立完成，讲解并引导学生总结出三种常见的圆的向量表示形式（课堂过程从略）.

模型3：动态——引入参数，激活图形，动感十足.

例5  已知向量[a≠e，][ e=1]，若对任意[t∈R，] 恒有[a-te≥a-e]，则（    ）.

师：此题的关键是对题干条件的解读. 随着参数[t]的变化，向量[a-te]的模长发生了变化，且这个模长存在着最小值[a-e]，当且仅当[t=1]时取得. 请同学们画出它的几何图形.

生：如图5，随着变量[t]的变化，点[B]在直线[OE]上运动.

师：很好，平面向量中引入参数，激活了图形，给整个问题以“动感”，同时用[b=te]这一共线向量表征直线[OB]上的点. 从图中能看出什么几何关系？

生：这个图刻画了直线外一定点到直线上一动点的距离以垂线段最短，当且仅当[AE⊥OE]时，[AB]取得最小值[AE].

教师用PPT投影例5的选项.

（A）[a⊥e] （B）[a⊥a-e]

（C）[e⊥a-e] （D）[a+e⊥a-e]

师：显然这个几何关系就是C选项，图穷匕见，一目了然.

例6  已知平面向量[e1，e2]满足[e1=1， e2=2，][e1 ⋅ e2=1]，已知[a=xe1+e2，x∈R，b=λe1+1-λe2，][λ∈R]，若有且只有一个[λ]，满足[b-a=1]，则[x]的值为      .

师：这道题的题干中出现了三个主要的向量表达式：[a=xe1+e2，b=λe1+1-λe2， b-a=1]，请逐一解读.

学生解读如下.

令[a=OA，b=OB，e1=OE1，][e2=OE2].

则[OA=xOE1+OE2]表示点[A]在过[E2]且平行于[OE1]的直线上.

[OB=λOE1+1-λOE2]表示点[B]与[E1，E2]三点共线.

[AB=1]表示点[B]在以[A]为圆心、1为半径的圆上，如图6所示.

因为有且只有一个[λ]满足[AB=1]，即只有一个点[B]符合条件，

所以直线[E1E2]恰与圆[A]相切.

所以[E2A=xOE1=1]，即[x=±1].

师：这道题中蕴含了平行线、三点共线和圆等多种图形，几何元素丰富多彩.

3. 整理模型，总结方法

在课堂解题过程中，教师引导学生整理学案上的表格.

[几何元素（文） 向量表示（式） 图形呈现（图） 点 [a=OA] 略 圆（直径圆、标准圆、外接圆） [a-c ⋅ b-c=0，c-a=r，a-b=r0，a-c，b-c=θ0] 略 线（所在直线、平行线、三点共线） [b=ta，a=xe1+e2，b=λe1+1-λe2] 略 ]

有了这组“文、式、图”，就有了用图形解读向量条件和用向量语言描述图形的“弹药”，实现了代数与几何之间的自由切换.

仿照教材中用向量法解决几何问题的三个步骤，也可以得到借助几何直观解决向量问题的三个步骤.

第一步，以大换小，代数转入几何——向量的小写字母表示变为大写字母表示.

第二步，动笔画图，探寻几何元素——画出每个条件所表征的几何元素.

第三步，借助模长，定性转向定量——在几何元素之间构建桥梁.

4. 开放编题，学以致用

有了这些几何图形，如何构建起联系它们的桥梁呢？求模长是非常有效的手段！教师继续带领同学们开启编题之旅.

题目  设向量[a，b]满足[a=2， b=3，a ⋅ b=3]，则[a-b]的值为      .

师：这个问题的几何背景是什么？

生：这是一个两边长度与夹角确定的三角形，如图7所示，用余弦定理可以求出第三边长度为[7].

师：对，一个确定的三角形，求的是两个定点之间的距离. 能否在图7的基础上开放式地命制题目，适当增加几何元素，让图形复杂起来呢？

变式1：如图8，添加一个单位圆.

师：请同学们思考如何表述以点[B]为圆心，1为半径的圆？

生1：[BC=1]，即[c-b=1].

生2：[c-23b · c-43b=0].

生3：展开式为[c2-2b ⋅ c+8=0].

师：同学们分别用前文表中的标准式和直径式，及二次式来表示圆，特别是二次式表示圆值得大家关注. 添加了圆之后，可以求什么呢？可以继续求距离，如求圆上动点[C]与圆外定点[A]之间的距离，即求[a-c]的取值范围.

生4：显然是[7-1， 7+1].

变式2：如图9，引入直线[OA].

师：请大家思考如何表述直线[OA]？

生：设[m=OM，a=OA， OM=tOA]，即[m=ta].

师：可以求直线[OA]上一动点与圆上动点的距离，如何表述？

生：求[m-c]的取值范围.

师：恭喜大家命制出了2018年浙江高考真题.

已知[a，b，e]是平面向量，[e]是单位向量. 若非零向量[a]与[e]的夹角为[π3]，向量[b]满足[b2-4e ⋅ b+][3=0]，則[a-b]的最小值是（    ）.

（A）[3-1] （B）[3+1] （C）2 （D）[2-3]

解：如图10，非零向量[a]与[e]的夹角为[π3].

因为[b2-4e ⋅ b+3=0]

所以[b-2e2=1.]即[b-2e]=1.

设[2e=OD]，表示以[D]为圆心、1为半径的单位圆.

所以[a-b]的最小值即[AB]长度的最小值.

显然，当[DA⊥OA]时，[ABmin=AB=3-1].

变式3：如图11，引入平行线[AN].

设[n=ON]，[a=OA]，[b=OB]，[ON=OA+tOB]，即[n=][a+tb].

师：不得了，命制出了2016年浙江学业水平考试试题.

已知[e1，e2]为平面上不共线的单位向量，设[a=34]，[b=e1+ke2 k∈R]，若对任意的向量[a，b]均有[a-b≥34]成立，则向量[e1，e2]夹角的最大值是（    ）.

（A）[π3] （B）[2π3]

（C）[3π4] （D）[5π6]

解：如图12，设单位向量[e1]与[e2]的夹角为[θ]，[b=e1+ke2 k∈R]表示点[B]在平行线[l]上运动.

[a=34]表示点[A]在以[O]为圆心、[34]为半径的圆上运动.

当[OB⊥l]，即点[B]在点[H]处时，[OH=sinθ].

由[a-b≥34]，得[a-bmin≥34].

所以[ABmin=DH=sinθ-34≥34.]

所以[sinθ≥32，] 即[θ∈π3， 2π3].

变式4：如图13，引入直线[AP].

若[Q]为[OB]的中点，则[OP=λOA+1-λOQ]，即[p=λa+1-λb2].

师：命制出了2017年浙江数学竞赛真题！

已知向量[a，b，c]满足[a=1， b=2， c=3，][0<λ<1]. 若[b · c=0]，求[a-λb-1-λc]所有取不到的值的集合.

解：如图14，点[A]在单位圆上运动.

设[OD=λb+1-λc，0<λ<1]，则知点[D]在线段[BC]上.

[a-λb-1-λc=OA-OD=DA]表示单位圆上的动点[A]到线段[BC]上的动点[D]的距离.

当[OE⊥BC]，点[A]为[OE]与圆的交点[A]时，则[ADmin=61313-1];

当点[A]为[CO]延长线与圆[O]的交点[A]时，[ADmax=3+1=4];

所以[a-λb-1-λc∈61313-1，4].

所以取不到的值的集合为[-∞， 61313-1⋃4，+∞.]

至此，相信大家也注意到了，解题时我们要将抽象的向量代数式转化为直观的几何图形，而命题则恰恰相反，要将添加的几何图形包装成向量的代数形式. 因此熟练掌握常见的几何元素的向量表达方式，就可以命制出丰富多彩的向量问题. 当然除了模长，数量积也常常作为考查的目标式.

最后，以一首打油诗为本节课作小结.

以小换大重塑向量条件，

几何语言描绘图中乾坤.

几何直观辅助代数抽象，

数形结合自是妙不可言！

二、教學反思

1. 设计有新意，解题有方法

本节课的教学设计牢牢抓住“数形结合，几何直观助力理解代数抽象”这条主线，构思巧妙有新意. 通过比较向量代数与几何的两种表示方法，提供了“以大换小”的方法. 通过回顾高考真题，梳理出静态、圆形、动态三种模型，整理向量“文、式、图”，为几何法解题奠定了基础. 总结出借助几何直观研究向量问题的基本方法和步骤流程图，让求解向量问题有法可循.

在教学过程中，教师并不是简单地给题、做题、讲题，而是巧妙地将问题分阶段呈现，引导学生关注对向量语言描述的题干的理解，加深对向量工具性的体会，学会用数学的语言表达世界.

2. 思维有启迪，素养有渗透

本节课本着发展学生思维，帮助学生学会学习、学会思考的理念进行设计. 特别是最后从母题出发一变再变的命题环节设计，充分发挥学生的主观能动性，让学生掌握命题的基本方法，自己编题解题. 当陆续命制出高考、学考、竞赛真题时，学生不仅非常兴奋，而且洞悉命题奥秘，达到知其然而知其所以然的目的，使学生的思维提高到一个新的高度.

直观想象素养是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的素养. 向量的几何视角恰是利用几何图形帮助学生理解代数抽象，解决向量问题的方法. 数学之难首先难在其抽象性，相比于代数的抽象，几何的直观在帮助学生理解问题时更具优势. 因此本节课的学习有助于提升学生的直观想象素养.

3. 教学有延伸，课堂有活力

事实上，对于高中阶段常见的向量图形，《普通高中数学课程标准（2017年版）》已经给出了明确的答案：向量是描述直线、曲线、平面、曲面及高维空间数学问题的基本工具. 一节课虽然不可能穷尽所有几何元素的表达方式，但是只要抓住“以大换小”绘图的基本原则，将每一个条件的几何图形描绘出来，那么必定能收到“图穷匕见，一目了然”的效果.

几何法上手容易，但真正熟练掌握还需要养成画图的习惯，会画图，能画图，善画图. 在本节课的课堂上，教师充分放手给学生，让学生逢图必亲自动手绘制，不让学生只做课堂的看客. 同一道题构图的方式也可能有多种，并非一次就能画出标准图形，常常需要根据条件逐步修正. 教师日常画图演示也应该实事求是，不宜每次都一步到位.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]曹凤山. 年年考向量  岁岁数与形：浙江省自主命题以来向量试题特点评析[J]. 中学教研（数学），2013（4）：37-39.

[3]江君香，黄汉桥. 平面向量模长问题的解决策略研究[J]. 数学通讯，2020（13）：27-29，31.

收稿日期：2021-07-07

作者简介：顾予恒（1981— ），男，中学高级教师，主要从事中学数学教育教学研究.