用“规—例”法研究数学性质

摘  要：“规—例”法是为了降低探索发现数学性质的难度而采用的一种教学方法. 基本流程是：借助具体事例，给出判断规则;对标关键问题，引导学生辨析;立足典型例题，生成规则理解;参与小结梳理，领悟研究方法. 核心是体现“情境问题—给出规则—规则辨析—规则应用”的学习、研究过程，助力学生构建研究函数性质乃至数学性质的一种思路和方法，提升数学学科核心素养.

关键词：“规—例”法;单调性;判断规则;数学性质;核心素养

函数单调性内容的处理，可以有不同的方法. 在反思“例—规”法教学不足的基础上，遵循《普通高中数学课程课标（2017年版）》的教材采用了“规—例”法. 与“例—规”法不同，“规—例”法是先给出数学性质的判断规则，再运用具体例子辨析、理解、应用规则. 这并不是简单的顺序更改，而是为了降低探索发现函数单调性的难度而采用的一种教学方法，关系到数学性质教学方式的改变与重构，具有重要的探讨意义和价值.

单调性是人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“教材”）必修第一册“函数的基本性质”第一课时的教学内容. 函数是贯穿高中数学课程教学的主线，函数的学习位于高中数学学习的起始阶段.

函数单调性既是函数概念学习的深入，又是数学性质学习的开端，不但是该单元教学的重点，还是函数主线乃至高中数学课程的重要节点，具有奠基性. 那么，如何按照“规—例”法展开函数性质教学、构建研究数学性质的新秩序呢？结合课题研究，笔者进行了以下探讨.

一、借助具体事例，给出规则判断

变化中的不变性是性质，变化中的规律性也是性质. 与节引言并列，教材在左框栏目中直接对“性质”进行界定，在节引言中介绍研究函数性质的背景、意义和方法. 然后，借助函数[fx=x2]的圖象，结合初中知识，引出函数单调性的概念，进一步用符号语言刻画函数的单调性. “例—规”法教学效果不理想的原因有两个：一是单调性判断规则本身的抽象性;二是定量化方法的构造性. 学生在此之前没有学过类似的方法，认知准备不充分. 采用“规—例”法就是为了规避“例—规”法的弊端，需要先突出第一个教学重点：从三种数学表达语言转换中给出函数单调性的判断规则. 为此，教师可以结合学情，组织以下认知活动.

（1）学生阅读节引言，了解什么是性质，研究函数性质的背景、意义和方法.

（2）教师导读，简述“性质”，引出本节主题，并结合教材第76页的图3.2-1，让学生说明它们分别反映了相应函数的哪些性质.

（3）让学生画出函数[fx=2，fx=x+1，fx=][-2x+2，fx=x2，fx=1x]的图象，教师规划板书位置，并让五位学生代表分别在黑板上作图展示.

（4）提出问题，让学生回顾探索函数性质的方法，并运用成语描述这五个函数图象的变化规律，利用初中学习过的函数值随自变量的增大而增大（或减小）的知识，表述变化规律与函数的单调性.

（5）动画呈现，借助函数[fx=x2]的图象，进一步用符号语言刻画函数的单调性：函数图象在[y]轴左侧部分从左到右是下降的，即当[x<0]时，[y]随[x]的增大而减小. 用符号语言表达，就是任意取[x1，x2∈-∞，0]，得到[fx1=x12，fx2=x22]，那么当[x1<x2]时，有[fx1>][fx2]. 这时我们就说函数[fx=x2]在区间[-∞，0]上是单调递减的. 让学生说明函数[fx=x2]在区间[0，+∞]上是单调递增的，函数[fx=x+1]在区间[-∞，+∞]上是单调递增的，函数[fx=-2x+2]在区间[-∞，+∞]上是单调递减的. 在此基础上，总结出函数单调性的判断规则，PPT呈现以上全部内容，教师板书规则要点，学生在教材上标注关键词.

以上认知过程可以概括为三步：一是在阅读、导读中，学生整体感知性质的含义、背景、意义和研究方法;二是在画图、描述实践中，学生局部认识函数的单调性;三是在“静”“动”结合中，借助具体函数的图象，用符号语言刻画出函数单调性的判断规则. 这些都是围绕数学文字语言、图形语言、符号语言的互译展开的，使学生有充分的认知准备，体会同一数学对象的不同表达方式，并在数学语言的切换过程中，培养学生的直观想象、数学抽象等素养，使学生形成对规则判断的积极的认知情感、态度与价值观.

二、对标关键问题，引导学生辨析

得出函数单调性判断规则后，就是规则辨析，需要突破第一个教学难点：判断规则本身的抽象性. 为此，教师可以根据教学进展，对标关键问题、引导学生开展以下辨析活动.

1. 关键点板书

①[∀x1，x2∈D，x1<x2⇒fx1<][fx2]，[fx]在区间[D]上单调递增.

②[fx]在定义域[I]上单调递增，[fx]是增函数.

③[∀x1，x2∈D，x1<x2][⇒fx1>fx2]，[fx]在区间[D]上单调递减.

④[fx]在定义域上单调递减，[fx]是减函数.

⑤[fx]在区间[D]上单调递增或单调递减，[fx]在这一区间具有（严格的）单调性，区间[D]是[fx]的单调区间.

2. 学生辨析

下图是定义在区间[-5，5]上的函数[y=fx]，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上它是单调递增还是单调递减.

3. 对照标注“关键点”提出问题

若[f-1<f2]，是否可以得出函数[fx]在区间[-2，3]上是单调递增的？是否可说函数[fx]在区间[-2，1⋃3，5]上单调递增？函数[fx]在区间[-5，5]上是增函数或减函数？

4. 对照标注“规则要素”提出问题

函数[fx=1x]的单调递减区间如何表示？函数[fx=1x]是否是减函数？能说函数[fx=-2x+2]是减函数吗？函数单调递增（减）与函数是增（减）函数的区别是什么？

上述辨析过程，一是提取判断规则中的关键词、要素，建构符号语言的意义. 二是回到函数图象中，建构判断规则的自我认识. 三是对照关键点，以问题为导向，创设情境，使学生在从特殊到一般的思辨中认识到单调性刻画变化规律，与某一点的函数值无关. 当端点处有定义时，单调区间可包括或不包括端点;具有两个（以上）单调递增（减）区间，可用“，”“和”隔开，不能用“[⋃]”“或”联结;函数单调递增（减）是对定义域内某个区间而言的，单调区间与单调递增（减）紧密相连，是局部概念;而增（减）函数是在整个定义域内单调递增（减），是特殊情形、整体概念. 四是对照标注“点”，从其他角度联结判断规则中的要素关系，回到之前列举的特殊函数中去，解构、理解判断规则，以及相匹配的符号语言和数学表达. 这些构成“一般—特殊—一般”的思维回路，使学生在规则辨析的过程中理解函数的单调性，突破难点，发展数学抽象、数学建模等素养.

三、立足典型例题，生成规则理解

规则辨析后是规则应用，需要突破第二个教学难点：定量化方法的构造性. 为此，教师可以根据教学进程，立足典型例题，生成规则理解，展开下列变式探究活动.

1. 例题探究

例  根据定义证明：函数[fx=3x+2]在区间[-∞，+∞]上单调递增.

审题后，由学生提供定义法证明思路，结合证明函数单调性的规则要点，教师示范、板书证明过程，由学生归纳证明步骤，教师提炼、标注证明过程的关键步骤：取值，作差，变形，定号，结论.

2. 变式训练

变式1：根据定义证明：函数[y=x+1x]在区间[1，+∞]上单调递增.（教材第79页例3.）

学生独立思考、自主证明，与教师一起改正并点评学生代表的证明过程.

创设问题情境：为什么作差？变形的目标是什么？变式1与例题之间有什么关联？

回答这些问题，可以使学生明白：作差的目的是由[x1，x2]的大小关系确定[fx1]与[fx2]的大小关系，是定量分析的一种构造方法，其依据是预备知识中关于两个实数比较大小的法则;变形的目标是确定[fx1]与[fx2]差值的符号，运算方法为分解因式或配方法，其依据是实数乘除的运算法则. 定义法证明函数单调性的五个步骤环环相扣，构成逻辑推理链;由整式向分式拓展可得变式1，改变的不仅是变形方法，还有相应的表述，例题还可以表述为“证明函数[fx=][3x+2]是增函数”，而变式1却不能进行相应表述.

变式2：根据定义，研究函数[fx=kx+b k≠0]的单调性.（教材第78页例1.）

变式3：物理学中的玻意耳定律[p=kV]（[k]为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积[V]减小时，压强[p]将增大. 试对此用函数的单调性证明.（教材第78页例2.）

3. 学生独立思考，自主解答和证明

学生阅读教材，自我矫正后，设置问题情境：三个变式与例题的相同点是什么？不同点是什么？变式2、变式3与例题之间有什么关联？通过个性化练习，让学生再次用定义法证明函数单调性，积累经验. 通过类比、思辨，让学生发现问题、提出问题，自主进入“情境与问题”. 解答这些问题，可以使学生明白：用定义法证明函数的单调性，不在于所使用的字母，而在于其所表达的数学本质，捋清问题中的自变量、函数、定义域，以及所考察的单调区间及五个步骤之间的逻辑关系. 变式2是例题的一般化，变式3与变式1关联，运用数学知识解决物理问题. 数学问题变式包括从特殊到一般、从一般到特殊、类比推广等，而数学应用主要是应用数学知识解决各种数学学科内外的问题，包括物理、化学、生物等学科中的问题.

上述应用过程，一是教师剖例、示范，紧扣定义，构造判断函数单调性的定量化规则，形成判断步骤;二是学生模仿、演练，回到规则中去，认识、理解规则定量化的构造性特征及其逻辑关系;三是问题变式与训练，学生带着学习体验再出发、再实践，在与教材、自己、同学、教师的对话中，形成对规则的理解.

从特殊到一般、从简单到复杂、从数学问题到实际问题，构建规则的多种表示与多向应用，助力学生在规则使用过程中把握其定量化的构造特性，突破难点，提升逻辑推理、数学运算等素养.

四、参与小结梳理，领悟研究方法

在课堂的最后，教师将课堂内容上升至学科思想的高度，突出第三个教学重点：构建研究函数性质乃至数学性质的一种行之有效的方法. 为此，教师可以鼓励学生参与课堂小结，进行整合提升.

1. 学生小结

可以使学生明晰：判断函数单调性的规则，函数单调递增（减）是对定义域内某个区间而言的，增（减）函数是对整个定义域而言的;与判断规则匹配的符号语言、规范表述;定量化判断函数单调性的五个步骤及其逻辑关系.

2. 变更问题情境

让学生浏览教材第76 ～ 79页的内容，回顾课堂学习、探索历程，可以引起学生对教材编写特点、设计意图等方面的关注，形成自己的观点和学习体会.

3. 整合提升

在课堂呈现知识、规则的基础上，回应关切，突出研究函数性质的这种思路和方法：情境问题—给出规则—规则辨析—规则应用. 结合教材和课堂资源，提取数据中新的信息价值，解读研究函数性质各个环节的要素，使学生感受教材编写的特点，重视数学阅读、理解设计意图、重视数学思维;在理解函数单调性判断规则的同时，领悟规则研究本身，构建“规—例”法研究数学性质的新秩序.

在上述梳理过程中有以下注意要点：一是学生小结不设限制，学生可以对其他学生的发言进行补充说明;二是更新问题情境，针对“暗线”问题，引导学生梳理、提取数据中的有用信息，发现并提出新的问题;三是整合提升，学生说到位的教师不重复，化“暗”为“明”，在肯定学生表现的同时，引导学生建立该节课的思维导图，体现研究函数性质的思路，将课程内容提升到研究数学性质的高度. 这样，可以将归纳总结的任务交还给学生，让学生自主梳理课程知识，重视阅读教材和学习小结，更好地发挥教师的引领作用，重视利用学习资源和拓展性研究，将数据分析、数学建模等素养的培养落实到课堂，将课堂探究延伸到课外.

“规—例”法降低了探索发现数学性质的难度. 基本流程是：借助具体事例，给出规则判断;对标关键问题，引导学生辨析;立足典型例题，生成规则理解;参与小结梳理，领悟研究方法. 基本点是夯实预备知识，在数学语言转译中给出判断规则;抓住关键点，理解规则，在规则辨析中建立相应的数学语言与表述规范;立足典型例题，展开问题变式，在应用规则解决数学问题的过程中，生成规则理解，构建规则应用模型;充分利用教学资源、释放数据能量，在小结梳理中，提升数学思想、领悟研究方法. 核心是将单调性教学纳入单元、主线教学的范畴，回应教材关切，建立“规—例”法教学新秩序，体现“情境问题—给出规则—规则辨析—规则应用”的学习、研究过程，突出重点、突破难点，助力学生理解函数单调性判断规则及其相关概念、符号、表达，构建研究函数性质乃至数学性质的一种思路和方法. 在阅读、观察、思辨、演练、展示、小结等思维活动中，逐步形成正确的价值观、必备品格和关键能力，提升数学学科核心素养.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中數学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建跃. 第三章“函数的概念与性质”教材介绍与教学建议[J]. 中学数学教学参考（上旬），2019（10）：17-24.

收稿日期：2021-07-01

作者简介：阳志长（1961— ），男，正高级中学高级教师，主要从事数学教育评价与教学研究.