高中数学解题中平面向量方法的应用

梁礼华

摘 要：向量是沟通代数、几何和三角函数的一种工具。解题中通过平面向量方法的应用能够很快地找到解题的突破口，明显地提高解题效率，因此高中数学教学中应注重平面向量知识的系统、深入讲解，同时通过经典例题的展示，使学生更好地把握平面向量方法在解题中的应用细节，促进其解题能力更好地提升。

关键词：高中数学;解题;平面向量;应用

高中数学中的平面向量涉及很多的概念以及一些定理。为使学生在解题中能够灵活应用，应注重给予学生学习上的引导，使其做好基础知识的整合，构建系统的知识网络，尤其做好相关的筛选与讲解，更好地锻炼学生的思维，提高其应用平面向量方法解题的灵活性。

一、用于解答三角形问题

平面向量的几何运算遵循矢量三角形以及平行四边形法则，和三角形有着紧密的联系。高中数学中的一些习题常将向量和三角形结合起来设问，考查学生向量知识的掌握与应用熟练程度。运用平面向量方法解答三角形问题时总的来讲共有两大思路：（一）纯粹地运用向量的几何运算法则。解题的过程中需要具体情况具体分析，必要情况下做出相关的辅助线，通过线段的等量代换、向量的加法、减法等，实现不同线段的灵活转化，以达到求解的目的。（二）运用向量的坐标运算。通过构建平面直角坐标系，确定各个点的坐标，将几何知识转化为数学运算，以求解除相关的参数。例如：下题应用向量的坐标运算成功地求出正确结果：

已知边长为2的等边△ABC的AB和AC两边上分别存在一点E、F，若满足=λ，=μ，若，，则λ+μ的值为（ ）

A. B. C. D.

取边BC的中点为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系。易得A（0，），B（-1，0），C（1，0），则=（-1，-），=（1，-），∴=λ=（-λ，-λ），=μ=（μ，-μ），则=+=（-λ，-λ），=+=（μ，-μ），又∵，∴（-）·（-）=（-1+λ，λ-）·（1-μ，μ-）=λμ-λ-μ+1=①。同理，∵，∴（-）·（-）=λμ-2λ-2μ+1=-②。①-②得：λ+μ=，选择C项。

二、用于解答函数问题

函数是高中数学的重点、难点，习题情境复杂多变。在教学中，教师应展示平面向量方法在解答函数问题中的具体应用，使学生深刻地体会具体的应用过程，把握应用细节，给其以后解答类似的习题带来切实可行的参考，避免在解题中走弯路。例如：课堂上可向学生讲解如下习题：

在函数y=x2的图像上存在一点P，过点P作圆：x2+y2-4y+3=0的两条切线，切点为A、B，则·的最小值为（ ）

A. B.2-3 C.0 D.-

∵圆的方程为x2+y2-4y+3=0，即，x2+（y-2）2=1，设其圆心为M，则圆心坐标为（0，2），半径为1。如图1所示：

∵cos∠APB=cos2∠APM=1-2sin2∠APM=1-2（）2 = 1-

设点P（m，m2），∴|PM|2=（m-0）2+（m2-2）2=m4-3m2+4=（m2-）2+≥。由对勾函数性质可知，在[，+∞）单调递增，因此，（）min=+-3=-，选择A项。

三、用于解答不等式问题

不等式是高中数学非常重要的知识点。教学中为使学生认识到平面向量方法在解答不等式问题中的重要性，提高平面向量方法在解答不等式问题中的应用意识，应注重为学生剖析平面向量与不等式之间的内在关联以及相关习题的常考方法。同时，应注重创设相关的问题情境，组织学生进行针对性的训练，更好地拓宽视野，锻炼其应用能力。课堂上可要求学生积极联系所学的平面向量知识，解答如下习题：

已知两个非零向量a、b，若对任意实数t，均有|b+ta|≥|b+a|，则（ ）

A.|a|>|a+b| B.|a|<|a+b| C.|b|>|a-b| D.|b|<|a-b|

∵|b+ta|≥|b+a|，不等式式两边平方得到：t（2a·b）+t2|a|2≥a·b+|a|2，∴|a|2t2+（2a·b）t-|a|2-a·b≥0，∵|a|≠0，∴Δ=4（a·b）2-4|a|2（-|a|2-a·b）≤0，整理得到：（|a|2+a·b）2≤0，则|a|2+a·b=0，即，|a|2+2a·b=0，∴a·b<0。若|a|2+2a·b=0两边均加上|b|2，则（a+b）2=b2，则|a+b|=|b|。若|a|2+2a·b=0两边均加上|b|2-4a·b，则（a-b）2=|b|2-4a·b，∴|a-b|2-|b|2>0，∴|a-b|>|b|，选择D项。

四、用于解答数列问题

数列在高中数学中以抽象而著称，对学生分析问题的能力要求较高。教学中应注重做好数列问题常规的解题思路，使学生切实打牢基础。同时，告知学生数列习题也可与向量知识结合起来，要求学生在日常的学习中提高认识，多加留意，并要求学生在课堂上做好听课的总结，认真揣摩平面向量与数列知识是如何融合在一起的、解题的过程中应用了哪些技巧、从中获得了哪些启发等，真正地将相关的解题技巧吸收、掌握。如下题：

如图2，在平面四边形ABCD中S△ABC=3S△ACD。在数列{an}中a1=1，a2=3，当n≥2时，恒有=（an-an-1）+（an+1-2an），则数列{an}的前6项和为（）

A.2020 B.1818 C.911 D.912

根据题意连接BD和AC交于点E。∵S△ABC=3S△ACD，∴BE=3ED，=-3，设x=an-an-1，y=an+1-2an，则=λ=x+y=x（+）+y（+）=（x+y）+x+y，∴[λ-（x+y）]=（-3x+y），∵和不共线，∴-3x+y=0，即=3，∴=3，整理得到：an+1-2an=3an-4an-1，即，an+1-an=4（an-an-1），则=4，n≥2。数列{an+1-an}是以2为首项，以4为公比的等比数列，∴an+1-an=2·4n-1，则a2-a1=2·40，a3-a2=2·41，a4-a3=2·42，，···，an-an-1=2·4n-2，累加得到：an=，∴Sn=n+（40+41+42+···+4n-1）=，则S6=912，选择D项。

五、用于解答圆锥曲线问题

圆锥曲线是高中数学的重点知识，是高考的必考知识点。相关习题常和平面向量知识相结合，难度较大。教学中为使学生掌握相关的破题思路，一方面，与学生归纳运用平面向量方法解答圆锥曲线习题的常用知识点，主要是向量的几何、坐标运算法则、圆锥曲线的相关定义、直线的平行以及常规图形的一些几何性质等，使学生在解答相关习题时能够有意识地联想这些知识点。另一方面，组织学生多开展相关的专题训练活动，并要求学生养成良好的学习习惯，做好训练总结的同时与其他学生共同交流学习心得，相互学习高效的解题思路与解题方法。如下题既需要应用平面向量知识，又需要应用直线的平行知识：

已知椭圆+（a>b>0）的一个焦点为F。椭圆E上存在一点P，若线段PF和圆x2+（y-）2=相切于点Q，O为坐标原点，且（+）·=0，则椭圆E的离线率为（）

A. B. C. D.

设椭圆的下焦点为F1，圆的圆心为A，线段PF的中点为B，画图如图3：

∵（+）·=0，∴（+）·（-）=0，∴OB⊥PF，||=||=c，又∵OB∥PF1，∴PF1⊥PF，∵PF和圓切于点Q，∴AQ⊥PF，∴PF1∥AQ，即，=，又∵|FF1|=2c，|AQ|=，|AF|=，∴|PF1|=b。由椭圆定义可得|PF|=2a-b，∴（2a-b）2+b2=4c2，即，=，则e===，选择B项。

结束语

高中数学教学中为提高学生运用平面向量方法解答数学习题的灵活性，讲解理论知识时应注重鼓励学生自己进行探究，归纳相关的结论，深化对基础知识的认识与理解。同时，在课堂例题的讲解、习题训练环节应注重给予学生引导，使其把握正确的思考方向，做好听课与训练的总结，不断地改进解题中的不足。

参考文献

[1]王春萍.高中数学平面向量解题技巧[J].中学数学，2021（5）：45-46.

[2]姚洪兵.高中数学解题中平面向量方法运用探究[J].名师在线，2020（11）：9-10.

[3]王建宇.高中数学解题中平面向量方法的应用分析[J].当代家庭教育，2019（18）：107.