“创新性”探究*——一道开放性试题引起的思考

广东省中山市杨仙逸中学(528400) 谢榕平

《中国高考评价体系》中的“四层”考查内容和“四翼”考查要求,是通过情境与情境活动两类载体来实现的.高考通过设置不同层级的情境活动来考查学生在“四层”内容上的表现水平.根据“四翼”考查要求,高考命题需要体现基础性、综合性、应用性和创新性.创新性要求创设合理情境,设置新颖的试题呈现方式和设问方式,要求即将进入高等学校的学习者能在新颖或陌生的情境中主动思考,完成开放性或探究性的任务.

基于《中国高考评价体系》对于试题在创新性方面的要求,中学教育在试题命制上也做了大胆的探索和尝试,打破常规命题规律, 采用新颖、灵活的方式, 以期对教学有一个较好的引导作用.在最近一次较大型考试活动中,出现了一道开放性题目,笔者就题目的形式、阅卷过程发现的问题和2020年高考数学试题中出现的开放性题型做一个探讨研究,以期交流.

1 试题展示及评析

题目数学命题一般由“条件”和“结论”两部分组成.正确的命题揭示了“条件”与“结论”之间的必然联系.如果我们把命题中“条件”和“结论”互换身份,就有可能得到一个有意义的逆向命题;把一个数学命题中的某些特殊的条件一般化(比如取消某些条件过强的限制),从而得到更普遍的结论,叫做数学命题的推广.这两种方式都是发现数学新知识的重要途径.下面,给出一个具体问题,请你先解答这个问题,并尝试按上面提示的思路,提出有意义的问题并解答.

圆O的方程为x2+y2= 1,斜率为k的直线l与圆O交于两点A,B,与x轴交于圆内一点F(c,0),其中c ̸=0,点M(m,0)为x轴上一点.

(1)当c=,k= 2 时,若有∠OMA= ∠OMB,求m的值;

(2)就本问题,请你尝试提出有意义的问题并解答(请注意完整、清晰、简洁地叙述你所提出的问题.本题视所提问题的意义及解答给分).

试题第一问给定了参数求解,难度较低,给大部分考生成功求解的机会.第二问以开放性的形式呈现,需要考生自己提出问题然后再解答,评分视所提问题及解答水平层次而定.试题很好地考查了学生数学运算、直观想象、数学抽象的核心素养,同时也考查了学生转化与化归、从特殊到一般的数学思想方法.题目既体现了基础性和综合性,考查了学生直线与圆的基础知识、基本技能,又体现了创新性,高度符合《中国高考评价体系》对试题的命制要求.

2 解答探究

2.1 第(1)问解答当c=,k= 2 时,A,B两点坐标为(0,-1),由kAM+kBM=得m=2.

2.2 第(2)问解答根据不同层级思维水平,第(2)问的解答可能会出现如下情况:

2.2.1 第一类(逆命题或参数变化)此类解答只是把问题变为逆命题或者改参数为其它特殊值,思维水平层次较低,在评分时得分就会较低.

参考1(逆命题)问题:圆O的方程为x2+y2= 1,斜率为k的直线l与圆O交于两点A,B,与x轴交于圆内点F(c,0),点M(m,0)为x轴上一点.当c=,k= 2 时,若m=2,则有∠OMA=∠OMB.

参考2(改变k)问题:圆O的方程为x2+y2= 1,斜率为k的直线l与圆O交于两点A,B,与x轴交于圆内点F(c,0),点M(m,0)为x轴上一点.当c=,k= 1(或者k为其它具体常数)时,若有∠OMA=∠OMB,求m的值.

参考3(改变c)问题:圆O的方程为x2+y2= 1,斜率为k的直线l与圆O交于两点A,B,与x轴交于圆内点F(c,0),点M(m,0)为x轴上一点.当c=,k= 2(或者c为其它具体常数)时,若有∠OMA=∠OMB,求m的值.

2.2.2 第二类(参数一般化)这一类解答是把一个参数一般化,或者写成其逆命题的形式,思维水平层次比第一类解答的思维水平层次高.

参考4(参数k 一般化)问题:圆O的方程为x2+y2=1,斜率为k的直线l与圆O交于两点A,B,与x轴交于圆内点F(c,0),点M(m,0)为x轴上一点.当c=时,若对任意常数k,有∠OMA=∠OMB,求m的值.

逆命题:圆O的方程为x2+y2= 1,斜率为k的直线l与圆O交于两点A,B, 与x轴交于圆内点F(c,0), 其中c ̸= 0,点M(m,0)为x轴上一点.当c=,m= 2 时,则对任意常数k,有∠OMA=∠OMB.

解答过程:证明:当直线斜率为0 时显然成立; 当斜率不为0 时, 设t=,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的方程为x=ty+,代入圆的方程整理得:(t2+1)y2+ty+(-)=0,而

其中

由于t是任意非零实数,所以∠OMA= ∠OMB等价于kAM+kBM=0,即m-2=0,即m=2,反之亦然.

参考5(参数c 一般化)问题:圆O的方程为x2+y2=1,斜率为k的直线l与圆O交于两点A,B,与x轴交于圆内点F(c,0),其中c ̸= 0,点M(m,0)为x轴上一点.当k= 2时,若有∠OMA=∠OMB,求m的值.

逆命题:圆O的方程为x2+y2= 1, 斜率为k的直线l与圆O交于两点A,B, 与x轴交于圆内点F(c,0),其中c ̸= 0, 点M(m,0)为x轴上一点.当k= 2 时, 若(-1＜c ＜1 且c ̸=0),则有∠OMA=∠OMB.

解答过程:证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的方程为代入圆的方程整理得:y1+y2=而

其中

因为∠OMA= ∠OMB等价于kAM+kBM= 0, 即cm-1=0,即m=反之亦然.

2.2.3 第三类(问题一般化)

这一类解答是把问题一般化,思维层次水平较高.能较好的考查学生由数字运算到字母运算的能力的达成,极好渗透由特殊到一般的数学思想方法.

参考6(参数c,k 一般化)问题:圆O的方程为x2+y2= 1, 直线l与圆O交于两点A,B, 与x轴交于圆内点F(c,0), 其中c ̸= 0, 点M(m,0)为x轴上一点.当mc=1 时,都有∠OMA=∠OMB.

注事实上,本问题中mc=1 与∠OMA=∠OMB是充要条件,给出充要条件者亦记满分.

解答过程:圆O的方程为x2+y2=1,直线l与圆O交于两点A,B,与x轴交于圆内点F(c,0),点M(m,0)为x轴上一点.则对任意k有∠OMA= ∠OMB成立的充要条件为mc=1.

证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的方程为x=ty+c,代入圆的方程整理得:(t2+ 1)y2+ 2tcy+c2-1 = 0,而

其中

由于t是任意实数, 所以∠OMA= ∠OMB等价于kAM+kBM=0,即cm-1=0,即cm=1,反之亦然.

3 学生典型问题剖析

本试题的命制在创新性上是一个很有意义的尝试,在阅卷过程中暴露出学生较多的问题.

3.1 必备知识不少学生卷面出现直线方程写错、计算出错等问题,反映出学生的基本概念、基本原理、基本技能掌握不扎实.对解析几何中坐标法的思想领悟不到位,角度相等只能直观翻译为角平分线,不能转化到坐标上.

3.2 关键能力对于第(2)问的解答,绝大部分学生只能依葫芦画瓢,停留在改变参数这个低层次的思维模式,提出的问题还是原来题设的问题;学生没能发现题目已经以字母化的形式表示了一定量,命题者的原意就是需要考生进行抽象加工为一般化;部分学生能发现与斜率无关,写出动直线的原命题和逆命题,但还未发现一般化的推广.从以上这些阅卷情况可以发现,学生的关键能力,特别是符号理解能力、信息转化能力、抽象思维能力等还比较欠缺,没能从所给情境中提取有效信息,透过现象看到本质,发现隐含的规律.

3.3 学科素养本题如果以一个常规题型的形式呈现,学生顺利解答就相对容易很多,现在以开放式的学习探索情境出现,学生无法挣破常规思维的桎梏,无从下手.有些同学提出的问题是求切线方程,求弦长,求圆的标准方程等,说明学生没有摆脱平时题目训练的痕迹,思维局限在刷的题目里,其本质上是缺少理性思维、数学应用和数学探索的能力,也是题海战术和套路训练的必然结果.这是日常教学的薄弱点,也是该改进和努力的地方.

4 高考试题展示

高考数学的创新性强调对知识的灵活运用,通过命制开放性试题,结构不良试题等,发挥选拔功能.2020年的高考试题里也有新颖的创新题型出现,如2020年高考数学山东卷、海南卷第17 题:

在1○ac=√2○csinA= 3, 3○c=这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.

问题是否存在ΔABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sinA=

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

从试题形式上看,这是一道创新的开放性题目,也是一道结构不良题目.从内容上看,作为一道解三角形的题目,不管是三个条件中的哪一个,放进问题里作为一道常规的高考试题,都是一道不难的题目,选择条件①或者②,所求三角形都是存在的,选择条件③,所求三角形不存在.但这种打破常规的题型设置从主观上已经把相当一部分学生吓到,让学生无所适从.这种创新性的题型,主要考查学生的探究能力、理性思维和逻辑思维能力,有较好的区分度,有利于人才选拔.面对这种新颖、灵活的命题趋势,不管是教师的教还是学生的学,都要解决高考备考中的“阿喀琉斯之踵”,改变应试教育一味刷题的学习模式,从套路训练中跳出来.日常教学和备考都要注意抽丝剥茧,把握数学本质,强调能力的培养,培养学生高层次的理性思维和敢于质疑、勇于创新、提出独特见解的可贵品质.

5 结束语

基于高考评价体系,高考命题理念实现了由“知识能力立意”到“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”的转变.“四翼”考查要求里的创新性是高考选拔功能的体现,鼓励学生摆脱定势思维的束缚,从整体上建构知识框架,形成深层次的认知结构,加强逻辑思维能力的培养,提升分析问题、解决问题的能力,引导、启发学生探索生活中的数学问题,促进学生的实践能力,在学习、积累、领悟、内省、升华中形成数学学科核心素养.