一道2020年高考椭圆定值问题的探究

湖北省监利市实验高级中学(433300) 万平方

圆锥曲线中的定值问题是高考的热点和难点问题之一,定值问题动中有静,静中有动,变化中有不变,解决此类问题需要动中窥静,以静制动.定值问题与定点问题可以相互转化,它们背后往往蕴藏着丰富的几何背景,探究问题的背景,能拓展思维空间、培养合情推理能力与发散思维能力.

2020年高考数学北京卷第20 题保持了北京卷“入口易、口径宽、深入缓、出口难”的一贯风格,表面是求值问题,实质是定值问题.它以能力立意,强调数学方法和数学本质的考查,考查解析几何中的主要方法,需要学生具备一定的数学运算核心素养,并能够程序化思考问题.此题背景熟悉、解法多样,细细品读实感底蕴深厚,余味绵长.

题目(2020年高考数学北京卷第20 题)已知椭圆过点A(-2,-1),且a=2b.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=-4 于点P,Q.求的值.

本题(Ⅰ)比较简单,容易求得椭圆C方程为:1.本文只对(Ⅱ)进行研究.

1 解法探究

解析几何的核心思想是用代数方法研究几何问题,解题过程中,首先要用代数语言描述几何要素及其关系,实现几何条件代数化.因此,必须重视对几何关系的深人研究,探究用代数形式恰当表示几何关系,方便代数运算,形成正确的解题策略.

(Ⅱ)的条件中涉及椭圆、4 条直线和6 个点.4 条直线中一条已知, 另外三条都是三点共线的动直线.6 个点中M、N、A三点在椭圆上,P、B、Q三点在定直线上.三条动直线如何表征,M、N在椭圆上如何表征是运用解题条件解题应该思考的二个问题.由于P、B、Q三点在直线x=-4 上,因而解题目标中比值问题转化为P、Q纵坐标的关系问题,P、Q纵坐标关系如何表征成为解题思考的第三个问题.解题过程中如何消元、如何运算是核心问题与关键所在.

思路1直线l的方程用点斜式方程

解法1设P(-4,p),Q(-4,q),M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为:

与椭圆C方程联立化简可得:(4k2+1)x2+ 32k2x+(64k2-8)=0,则

直线MA的方程为:y+1=(x+2),令x=-4 得

同理可得:

5 个方程,6 个未知数,可以求出p、q的关系,消元可用3种方法.

方法1消去y1,y2,计算过程中把与k有关的式子整体用(x1+x2)代换.求p、q的比值.

方法2消去y1,y2,寻找x1x2与(x1+x2)的关系,求p、q的比值.因为

故

方法3消去y1,y2,寻找x1x2与(x1+x2)的关系,求p+q.p=-2×-1 =,同理可得:

又x1x2+8 =-3(x1+x2).故p+q= 0,p=-q.从而

评析p+q与中,方程根的结构显然都不对称,无法直接应用韦达定理, 方法1 先把能用韦达定理的应用韦达定理, 不能直接应用韦达定理的将与k有关的式子整体用(x1+x2)代换.方法2、3 通过x1x2与(x1+x2)的关系将非对称问题转化为对称问题.这两种方法是处理此类非对称结构问题的常用方法,值得重视.思路2 中也是用这样的方法处理此类问题的.

思路2直线l的方程用横截式方程

解法2设P(-4,p),Q(-4,q),M(x1,y1),N(x2,y2).当直线l的斜率为0 时, 不妨设则AM:y=,得y1=同理,

当直线l的斜率不为0 时, 设l的方程为x=ny -4与椭圆方程联立化简得(n2+ 4)y2-8ny+ 8 = 0,Δ = (8n)2-32(n2+ 4)＞0, 得n ＜ -2 或n ＞2.由韦达定理有y1+y2=,y1y2=由A,M,P三点共线有kAM=kAP, 即有同理q=

消去y1、y2同样可用3 种方法,这里仅给出方法2.

方法2寻找y1y2与(y1+y2)的关系,求p+q.

由韦达定理有:(y1+y2)=ny1y2,则

故p=-q,即

思路3M、N的坐标用P、Q纵坐标表示.

解法3设P(-4,p),Q(-4,q),M(x1,y1),N(x2,y2),则PA:y=-p-2 与椭圆方程联立化简得(p2+2p+2)x2+4(p2+3p+2)x+4(p+2)2-8=0,由韦达定理得到:-2x1=所以x1=代入直线PA的方程得y1=即同理可得由kMB=kNB有

2 推广探究

问题1此题中点B与点A有什么关系? 如图, 猜想AB为椭圆的切线.事实上, 直线AB的方程为x+2y+4=0,与椭圆方程联立消去x得y2+2y+1=0,Δ=0.AB为椭圆的切线.

问题2过点B的切线有两条, 点A改为点C(-2,1),点B是否仍为PQ的中点? 同解法1 不难得到结论成立.

问题3点A在直线x=-2 上移动时,点B是否仍为PQ的中点? 同解法1 不难得到结论成立.于是,本题(Ⅱ)推广为:过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,点A是直线x=-2 上一点,直线MA,NA分别交直线x=-4 于点P,Q.则点B为PQ的中点.

问题4点A与点B有什么的关系时,点B为PQ的中点?

解设P(m,p),Q(m,q),M(x1,y1),N(x2,y2),A(s,t).当直线l的斜率为0 时, 不妨设M(-a,0),N(a,0).由A,M,P三点共线有同理,若p+q= 0,则化简得:

当直线l的斜率不为0 时,设其方程为:x=ny+m与椭圆C的方程联立化简得:(a2+b2n2)y2+ 2nmb2y+b2(m2-a2)= 0.则y1+y2==,ny1y2=-(y1+y2).由A,M,P三点共线有则p=同理,

推广到一般有:

性质1已知椭圆过点B(m,0)的直线l交椭圆C于点M,N,A为直线x=上的一个动点,若直线MA,NA分别交直线x=m于点P,Q,则B为PQ的中点.

探究其逆命题有:

性质2已知椭圆直线l:x=m与x轴交点为B,PQ在直线l上,且B为PQ的中点,过点B的直线交椭圆C于点M,N,则PM,NQ的交点A在定直线上.

简证由问题4 知

探究其逆命题,定值问题转化为定点(直线)问题.双曲线、抛物线也有类似的结论.

3 引申探究

问题5把点A所在直线移到椭圆外面,把B点移到椭圆内部,会有什么结论呢? 利用GeoGebra 探究发现,结论仍然成立.不仅如此,特别地,如图,当点A在x轴上还新的结论.

变式过点B(-2,0)的直线l交椭圆1 于点M,N, 点A是直线x=-4 与x轴的交点, 则∠NAB=∠BAM.

证明设M(x1,y1),N(x2,y2).直线l:x=ny -2与椭圆C方程联立化简得(4+n2)y2-4ny -4 = 0,由韦达定理有:y1+y2=则ny1y2=-(y1+y2).而

故∠OMA=∠OMB.

变式产生了新的定值问题,从变式中可以找到近几年的高考试题.

例1(2018年高考全国Ⅰ卷理科第19 题)设椭圆的右焦点为F, 过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).

(Ⅰ)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;

(ⅠⅠ)设O为坐标原点,证明∠OMA=∠OMB.

例2(2015年高考全国Ⅰ卷理科第20 题)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线y=kx+a交与M,N两点.

(Ⅰ)当k=0 时,分别求C在点M和N处的切线方程;

(ⅠⅠ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN? 说明理由.

依照如上思路,我们也可以得到如下已知结论:

性质3[2]已知椭圆= 1(a ＞b ＞0), 点(0＜|m| ＜a).设不与x轴垂直的直线l与椭圆交于A,B两点, 则直线l过定点(m,0)充要条件是x轴是∠AMB的角平分线.

双曲线、抛物线也有类似的结论.有兴趣的读者可自己尝试总结与证明.

定值问题求解的方法通常有两种:一种是特殊值求法,另一种是直接推理计算.不论使用哪种方法都需要严谨的推理能力,扎实的运算能力,这也是数学核心素养的要求使然.

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《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出:在教学活动中,应结合教学任务及其蕴含的数学学科核心素养设计合适的情境和问题,引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题,使用恰当的数学语言描述问题,用数学的思想、方法解决问题.通过探究活动,让学生体验数学的发现和创造历程,引导他们勇于发现问题、提出问题、解决问题,进而在分析、类比、猜想、证明过程中理解数学内容的本质,激发学生的潜能,培养学生逻辑推理、数学抽象、直观想象等核心素养,促进学生数学学科核心素养的形成和发展.