感知变量关系 理解比例意义——《比例的意义》教学设计新策略

邵爱珠

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。函数思想方法是运用运动和变化的观点、集合和对应的思想去分析问题的数量关系，通过类比、联想、转化合理地构造函数，运用函数的图象和性质，使问题得以解决。函数思想的核心是事物的变量之间有一种依存关系，一个量随着另一个量的变化而变化，通过对这种变化的探究找出变量之间的对应法则，从而构建函数模型。虽然在小学中没有正式引入函数概念，但函数的思想、雏形随处可见。

比例知识呈现了生活和数学中最基本、最常见的数量关系和变化规律，是重要的数学模型，蕴含了基本的函数思想。一般的关于比例意义的教学设计，都是基于静态的数据比较引出概念，那么如何关注数量间的变化规律，从渗透函数思想的角度来设计《比例的意义》教学呢？

一、创设情境，感知对应关系

1.观察情境，初始对应。

师：这里有一组平行四边形，从图中你了解到哪些信息？有什么发现？

2.梳理情境，完善数据。

师：这组平行四边形底边都为5cm。请认真观察，试着填完整下表：

面积（cm2）5高（cm）1

【设计意图：在一组平行线中呈现五个大小、形状各异的平行四边形，用简单、熟悉的素材唤起学生对两个对应量变化关系的思考。这组平行线之间的间隔都是1 厘米，学生从直观可以发现：当底边长度不变时，平行四边形的面积随着高的增加而不断变大，初步感知高和面积的对应关系。】

二、自主探究，发现变化规律

师：仔细观察图和表，说说你有什么发现？

1.先独立思考，想一想、算一算；然后把你的发现在小组中交流。

2.全班交流。

3.梳理回顾学生的发现，预设可以得到以下几种发现：

（1）平行四边形的底不变，面积随着高的变化而变化。

（2）平行四边形的底不变，高越长，面积越大；高越短，面积越小。

（3）平行四边形的面积与高的比值都是5。

（5）平行四边形每增加1 厘米的高，面积就增加1 个5 平方厘米。

【设计意图：已知平行四边形的底与高计算面积，是学生已有的知识基础，通过学生对熟悉的素材的自主探究、合作交流，尝试从数据中进一步发现两个对应量之间的关系，渗透函数思想。同时，不断挖掘原有知识中的新问题，用学生自己的方式架构起与新知的联系。】

三、抽象建构，理解比例意义

师：这里的每个平行四边形的面积与高之间的比值都是5，如5∶1=5、20∶4=5。像这样两个比的比值相等，也就是两个比相等，我们可以用等号连接，写作5∶1=20∶4。这样的等式，叫做比例。

师：从刚才的这些数据中，你还能组成哪些比例？试着写一写。

交流反馈学生作品后，引导归纳：

1.这组数据中，底边长度不变，每个平行四边形的面积与高之间的比值都是5。因此任意两个平行四边形的面积与高的比都可以组成比例，如5∶1=20∶4、10∶2=15∶3、25∶5=20∶4 等。

2.从数据中还可以得到：底边长度不变，每个平行四边形的高与面积的比值也是相等的，都是因此任意两个平行四边形的高与面积的比也可以组成比例，如1∶5=4∶20、2∶10=3∶15 等。

3.迁移：如果继续往下画图，你还能根据图的规律，试着再写出几个比例式吗？

师：用自己的话说一说什么是比例？

【设计意图：这是本课的重要环节，从学生已有的解题经验出发，借助对“相等的比”的理解、掌握，为建立比例概念做知识铺垫。在此基础上抽象建构比例的概念，就显得顺理成章，条理更清晰、结构更严谨。“根据图的规律尝试再写几个比例式”是基于对这组有关联的数据的充分利用，运用发展、变化的观点，进一步感知两个对应量之间的依存关系，帮助学生在解决问题过程中感悟相关联的量，从而进一步理解比例的意义。】

四、练习拓展，巩固比例意义

1.基础练习，在模仿中理解比例。

算一算、选一选：下面各表中相对应的两个量的比能组成比例的是（）

A.

B.

C.

D.

2.综合练习，在感知中巩固意义。

（1）画一画、填一填。

（2）从上表中选几组数组成不同的比例。

【设计意图：习题2 改编自西南师大版教材：先根据提示画一画，画出不同半径的圆，再分别算出每个圆的周长，在此基础上选出几组数据组成不同的比例。这一题将比例的知识与学生已有的圆的知识建立起联系，在解题的过程中伴随动手操作，多种感官参与学习，能充分调动学生的学习兴趣，既让学生在练习过程中强化比例的意义，同时也进一步感悟圆周长与半径之间的关系。在数据的选择上也凸显了这一题独有的价值，尽管很多练习也充分考虑了数据的类型，涉及整数、分数、小数，尽量体现数据的丰富性，但对于像π 这样的无理数很难呈现。编制这道习题，不仅变化了习题的呈现方式，更丰富了数据的类型，同时在练习中进一步感知了对应量的关联性。】

3.提高练习，在变式中理解意义。

用下图中的4 个数据可以组成多少个比例？试着写一写。

整个教学设计，试图让学生在经历观察、比较、思考、交流的过程中，逐渐体会到相关联的两个量之间的相互依存、相互对应的关系。通过学习，体会到“当一个量不变时，另一个量与结果的变化是有规律的”；两个量形成比，如果比值一定，可以用等式表示，这个等式就是比例。这样的设计，既关注了知识的体验过程，又渗透了函数思想。