刍议中美小学“异分母分数加减法”的异同点

吴哲栋 吴海青

数学运算是数学学科的核心素养之一。培养学生的运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径来解决问题。异分母分数加减法是小学数学计算的重要内容之一，也是学生较难掌握的内容。本文通过对美国Go Math教材（以下简称“Go Math教材”）与北师大版教材中异分母分数加减法内容进行比较分析，希望能给一线教师在教学该部分内容时提供参考，同时对教材编写者提出一些建议。

一、教材内容编排相同点

1. 异分母分数加减法均安排在五年级。Go Math教材与北师大版教材均把异分母分数加减法内容安排在五年级，北师大版教材安排在五年级下册第一单元的第2至第10页;Go Math教材的五年级数学只有一本教材，共11单元，异分母分数加减法安排在第六单元，从第241页至第288页。可以说，两个版本教材异分母分数加减法内容安排的年级以及学习时间基本相同。

2. 控制分母的大小，降低计算难度。两个版本教材异分母分数加减法中的分母均以小于20的数为主，偶尔出现大于20的分母也是像60、80一类的整十数。 由于分母数字较小，求公分母通分的计算过程难度不大，重在引导学生理解算理及对计算方法的掌握。

3. 注重几何直观操作，在丰富学生数学体验与思维经验基础上理解算理。两个版本教材均注重借助几何直观图形，采用数形结合的方法，通过画一画、涂一涂等环节，把抽象内容具象化，让学生参与整个操作探究过程，达到理解算理的目的。如Go Math教材创设了长方形面积模型，把长方形看成“1”，如果平均分成二份，每一份就是，如果平均分成四份，每一份就是，把抽象的异分母分数加法算式+转化为两个图形面积的相加（图1）。

北师大版教材设计了折纸活动，学生通过画一画、折一折等具体操作，借助分数的面积模型，体会异分母分数+相加的意义和过程，帮助学生理解异分母分数加减法的计算道理。

4. 均利用转化的数学思想，注重知识间的内在联系，完善认识结构。在学习异分母分数加减法之前，学生们已经掌握了同分母分数加减法的计算方法，也就是“分母不变，分子相加减”。异分母分数分母不同，分数单位不同，要进行加减，就必须把它们转化成相同的分数单位，然后再按同分母分数加减法的计算方法进行计算，所以关键是怎么把异分母分数转化成同分母分数。两个版本教材均提供了两种通分方法，一是以两个分母直接相乘的乘积为公分母;二是以两个分母的最小公倍数为公分母。

5. 均注重计算教学与解决问题相结合。计算教学通常比较枯燥，两个版本教材均创设了让学生应用异分母分数加减法知识解决实际问题的情境，尽量做到情境的生动有趣。如北师大版教材创设“折纸”“星期日的安排”等学生熟悉的情境;Go Math教材也创设了“设计种植花园”“制作馅饼烘焙义卖”以及“用壳珠子和玻璃珠子编织篮子活动”等学生熟知的情境。

二、教材内容编排不同点

1. Go Math教材本单元的内容更多、范围更广、分得更细，北师大版教材更简洁明了。如北师大版教材的第一节“折纸（异分母分数加减法）”，一般为一个课时，Go Math教材把这一内容分成了五个课时来完成，分别是：第一节“异分母分数加法”，第二节“异分母分数减法”，第四节“公分母与相等分数”以及第五节“异分母分数加减法”。Go Math教材专门安排了一节“估算异分母分数的和与差”内容，利用一节课时间专门针对异分母分数加减法进行估算训练，这一点很独特。另外，Go Math教材还涉及异分母带分数加减法（被减数的分数部分比减数的分数部分更小，需要借位进行异分母带分数减法）、分数数列的找规律的内容，这些是北师大版教材中没有的。

北师大版教材本单元只有三节新课，第一节“折纸” （异分母分数加减法），第二节“星期日的安排”（异分母分数的加减混合运算），第三节“分数王国”与“小数王国” （分数与小数互化），内容非常简洁明了。

2. 北师大版教材更注重知识间的层次性，Go Math教材更重视几何模型的建构。异分母分数加减法有三种情况，一是分母互质的分数，二是分母具有倍数关系的分数，三是分母具有相同因数的分数。北师大版教材在第一节“折纸”的情境中出现的是+这种分母有倍数关系的分数;在“试一试”环节出现分母具有相同因数的分数;然后在练习中出现分母互质的分数。教材先在例题中安排最简单的分母有倍数关系的分数，要求所有学生都能掌握;当学生掌握了异分母分数加减法后，在“试一试”安排最难的分母具有倍数关系的分数，便于深入讨论学习。最后在练习中出现分母互质的分数，让学生体验完整的类型。整个安排由易到难，层次性很强，符合学生认知发展规律。

Go Math教材第一节“异分母分数加法”及第二节“异分母分数减法”，两节内容都是让学生体验如何根据长方形面积直观模型及分数的意义，利用画图方法得出异分母分数加减法答案，而不是通过通分计算出答案。如异分母分数减法“-”，Go Math教材分成三步完成教学。第一步，先把一个长方形的面积看成整体“1”，在长方形“1”下面分两行分别画出它的和。第二步，教学4和8有倍数关系，1个可以分成2个，所以3个就是可以分成6个，再减去1个。第三步，得出结论是5个，也就是。整个计算过程全部依据画图（图2）的方法，利用几何模型得出结果。

3. 北师大版教材中的问题更具启发性，Go Math教材中的指引更具操作性。北师大版教材第一节“折纸”，教材中提出三个问题。第一个问题“他俩一共用了这张纸的几分之几”，引导学生去探究异分母分数加法的算法和算理;第二个问题“笑笑比淘气多用了这张纸的几分之几”，引导学生去探究异分母分数减法的算法和算理;第三个问题“分母不同的分数相加减怎样计算？算一算，说一说”，引导学生总结异分母分数加减法的计算方法。问题层次性非常强，一环扣一环，一步比一步更深入，学生依据问题的提示与引导就可以探究出异分母分数加减法的计算方法。

Go Math教材通常是把问题的解决分成几步来完成，每一步都很明确告知学生要做什么，学生按照步骤去做，就可以解决问题。如教学“估算+”，教材以填空的方式分三步进行教学。第一步，用黑点在数线上标出，在（0）和（）之间，更靠近（0），所以约等于（0）。第二步，用黑点在数线上标出，在（0）和（）之间，更靠近（），所以约等于（）。第三步，“+”就变成“0+”，所以“+”的答案就约等于。

三、建议与反思

1. 两个版本教材均注重几何直观操作，通过丰富学生的数学体验与思维去理解算理;均重视引导学生利用转化思想，让学生懂得发现知识间的内在联系，以完善认识结构;均注重计算教学与解决问题相结合。笔者认为两个版本教材的以上相同之处是当今小学数学教育发展的趋势，我们应当坚持这个方向。

2. 控制分母的大小，降低计算难度，重在引导学生对算理的理解及计算方法的掌握。这是前些年我国课改的方向，也是当今世界数学计算教学发展的方向，国内教材已经朝这个方向做得很好，这一点我们应当保持。

3. 一线教师经常会遇到这种现象：部分学生知道怎么算异分母分数加减法，但总是说不清或不完全理解算理。针对这种情况，笔者建议一线教师可以尝试借鉴Go Math教材的幾何模型方法，让学生多操作、多动手画一画，把抽象的异分母分数计算与直观的几何图形联系起来，既生动又形象，学生自然就会理解算理，这么处理也符合这一年龄段学生的心理特点和认知规律。

4. 建议教材编写者考虑增加“异分母分数加减法的估算”这一内容，这对学生学会对运算结果进行估计有积极作用，也是帮助学生形成数感的重要途径。另外，Go Math教材中“异分母分数加减法中的估算”采用数形结合的办法，把抽象的估算与具体形象的数线图结合起来，既使学生学会通过数形结合的方法，把抽象的估算转化成直观的数线图，也能提升估算能力，形成数感。这些都是非常值得借鉴的地方。

（作者单位：香港理工大学 广东省深圳市宝安区实验学校 责任编辑：王振辉）