聚焦核心素养下导数教学的思考

陈 刚

(江苏省苏州市昆山经济技术开发区高级中学 215300)

一、新教材人教A版选修二中导数的相关知识

1.导数概念及其意义

(1)通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想;

(2)体会极限思想;

(3)通过函数图象直观理解导数的几何意义.

2.导数运算

(2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数，能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数;

(3)会使用导数公式表.

3.导数在研究函数中的应用

(1)结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间；

(2)借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值，体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.

二、导数在高考中所考查的内容和解题策略

1.导数考查内容和题型的研究

从高考对导数的要求看，考查共分为三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围、极值点偏移等.

高考导数在压轴题和小题中都有考查，难度控制在中等以上.复习时应特别注意将导数内容与传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.

例1(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna．

(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．

(1)当a=e时，f(x)=ex-lnx+1，f′(1)=e-1.

求得切线方程为y=(e-1)x+2．

(2)按01分类求解.

最终可得，a的取值范围是[1,+∞)．

注：本题具体指向学生的数学运算、数学建模、逻辑推理三大核心素养，第(1)问考查导数几何意义，第(2)问利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想.

面对高考中的导数题常考常新，我们能够做到的就是备考面能够全覆盖，如导数几何意义的应用、单调性问题、极(最)值问题、零点问题、不等式的证明、参数范围的确定的等.

2.导数常规考点及复习建议或解题策略

考点1：函数单调性，极值，最值的直接应用

(1)导数中不含参数：步骤求定义域，求导，求极值点，列表，求极(最)值.

复习建议：第一问一定要稳.导函数不能求错，否则整个题目会一并挂掉.要求求导时记牢导数公式不要图快，小心谨慎.

(2)导数中含参数：涉及分类讨论，明确分类讨论的标准.导数中含参数讨论问题更多是与ex及lnx结合，含分子二次函数型(参考定义域)，因式分解型，二次求导型，单根单调型.

例2 已知函数f(x)=alnx+x2(a≠0)，讨论函数f(x)的单调性.

①当a>0时，f′(x)>0，f(x)在(0，+∞)上递增．

复习建议：备考时我们应该对含参数讨论单调性求极值最值这样的知识点练习到位，争取在导数的第一问上拿到满分.

考点2：不等式恒成立问题

这类问题一般都设置在导数题的第二问，属于有一定难度的问题.需要学生有一定的综合能力，不仅对导数要有较深刻的理解，而且对于不等式、函数等知识要有比较好的掌握.

解题策略(1)分离变量求最值——分离时要特别关注是否需要分类讨论，分类要结合条件看，不能忽略大前提.要理解清楚分离后求函数的最大值还是最小值；

(2)构造函数求最值——如f(x)>g(x)恒成立，就是将上述的函数转化为了另一个函数，并没有本质的区别；

(3)试根法——有效点缩小参数范围是关键点.

例3 已知函数f(x)=alnx+x2(a≠0).

(1)当b=2时，讨论函数f(x)的单调性；

注：(1) 研究含参数的函数的单调性，要根据参数对不等式解集的影响进行分类讨论，如：开口方向、是否有解、解是否在定义域的取值范围内、解之间的大小等；

(2) 划分函数的单调区间时，还要确定导数为0的点和函数的间断点．

(3) 个别导数为0的点不影响所在区间的单调性.

考点3：交点与根的分布

类型1.函数f(x)与g(x)(或与x轴的交点)——方程根的个数问题；两个函数的图象有交点也就是方程组有解，但是对于超越函数我们往往解不出，那么转化为一个函数，再利用图象研究其极值和最值成为了一种思路；

类型2.切线的条数问题——以切点的横坐标为未知数的方程的根的个数；

类型3.极值点个数问题——导函数为0时根的个数(注意表格检验);

考点4.已知函数在某个区间上的单调性求参数的取值范围.

解题策略(1)导函数在给定区间上的恒成立问题，然后回归基础题型，可采用分离参数法、构造函数法、分类讨论等方法；

(2)子集思想，即所给区间是函数单调区间的子集.

考点5：不等式的证明

解题策略(1)构造函数

(2)放缩法

第一部分：对数式放缩

放缩成一次函数：lnx≤x-1;lnx

放缩成二次函数：lnx≤x2-x；

放缩成反比例函数：lnx>1-1/x.

第二部分：指数式放缩

ex>x>lnx，ex≥x+1，ex≥ex.

第三部分：三角函数式放缩

sinx

三、导数在教学中建议

1.立足课标，激活教材

课本是教学之本，重视教材上一些基础知识的形成过程，加强对教材例、习题的研究与再创造；

2.注重能力，培养素养

理解导数的基本概念；加强对逻辑推理能力和数学运算能力的培养；多渗透化归与转化思想；

3.关注题型，抓住特征

三角函数，指数函数，对数函数，多项式函数，分数函数，以及几种函数的相互融合；

4.关注热点，明确趋势

函数的单调性、极值和最值，函数的零点(隐形零点)，极值偏移问题，证明函数不等式(几何背景)，不等式的恒成立问题，比较大小，解决实际问题等等.