数学思想在高中不等式解题教学中的应用

丁晓军

(江苏省海安市南莫中学 226681)

在进入高中阶段之后，不等式在数学学科中占据着重要地位，也是必考知识点，虽然表面上看不等式属于数学运算技能，但是只有学生深入了解不等式的性质、精准掌握基础内容，再结合反复的操练才能够实现灵活运用.不管是现实世界、还是日常生活中，都存在着很多不对等的关系，而不等式正是刻画这些不对等关系的关键模型，因此针对不等式的学习和求解有助于解决现实问题.和初中阶段相比，高中阶段的不等式学习内容更为广泛，不等式的类型更复杂，未知数的阶次也更高，因此需要对高中不等式的解法展开深入探讨和研究，以寻求更有效的教学策略.《数学课程标准》特别强调数学思想在解题教学中的应用，渗透数学思想于不等式解题教学之中，能够达到事半功倍的教学效果.

一、运用数形结合，让不等式求解直观化

华罗庚先生指出：“数无形时少直观，形少数时难入微.”由此也表明数学学习过程中数与形之间的微妙关系，通过数形结合能够改变原有的抽象状态，可以促使宏观图形和微观数值之间的相互转化，以此实现简化题意的目的，使二者相辅相成.在高中不等式解题教学中，教师应有意识地渗透数形结合的思想，充分利用函数图形的直观性，引导学生求解不等式中x的取值范围.

1.借助数形结合，求解不等式取值范围

在高中数学不等式解题指导教学中，教师可以引导学生借助数形结合的方式，对不等式取值范围进行求解.这样，学生在这个过程中就能够有效地对不等式取值范围进行确定，从而达到高效解题的目的.

例如，在指导高中生求解“ax2+bx+c>0”及“ax2+bx+c<0” 这两个一元二次不等式时，可以将不等式与方程函数的相关知识点进行有机融合，通过求解一元二次方程ax2+bx+c=0的根，并结合二次函数f(x)=ax2+bx+c的零点展开判断，用于描述一元二次不等式的x取值范围.这样，学生通过二次函数的图象，能够形成更直观的感知，了解函数值的取值区间，再求解一元二次方程之后，就可以根据其根判定二次函数的值在哪一点出现了变化，从而明确更精准的x的取值范围.这样，学生在这个过程中就能够基于数形结合顺利实现不等式的求解.

2.借助数形结合，求解不等式组取值范围

在高中数学不等式解题指导教学中，也可以在二元一次不等式组的求解过程中引入数形结合，通过直观的图形展现，改变不等式的抽象状态，结合线性规划不等式组进行平面展开，不根据数学计算，从中发现x、y过零点，由此便可确定x、y的取值区间，再结合图形分析，并能够明确具体的取值范围顺利求解.

可见，在高中数学教学中，不等式解法指导教学需要充分展现数形结合所具有的典型优势，不仅要有效渗透这一数学思想，也应当全面提高学生对数学结合这一思维方法的应用能力，以此推动不等式的学习提高解题技能，既有助于发展学生的逻辑思维能力，同时，也培养了学生认真观察图形的良好习惯，能够正确总结规律，这样才能够使不等式的求解更易于学生理解以及吸收，使其可以高效掌握.

二、运用化归思想，让不等式求解简单化

高中数学中的一些不等式是比较复杂的，高中生在解不等式的过程中，采取常规的方法往往不能够快速地得到答案.化归思想是一种重要的数学思想.所谓化归思想，简单地说就是当学生已经存在相应的知识或者经验，结合类比或者联想等方式对问题进行转化，从而改变问题原有的复杂状态，形成简单的问题或者问题组，进而实现有效解决.在高中数学不等式解题指导过程中，引导学生运用化归思想，能够让不等式求解简单化

针对不等式的解题，可以先将式子视为整体，之后替换其中的变量，这样的解题过程必然会更加简便.这种不等式的转化方法，特别强调的是换元以及建构元.所谓换元法，就是以原有的等量代换为基础，对其进行延伸或者拓展，改变之前的研究对象，实现对问题进行化解.实际上，换元法也可以称其为辅助元素法，最直观地理解就是需要在原有的不等式中，借用或者辅助新的变量，这样就能够将问题中的分散条件集中起来进行综合处理，还有益于揭示其中的隐含条件；或者也可以在解题的过程中将结论以及条件进行结合，将原有的题意转化为学生比较熟悉的结构，为有效解题提供便利.

可见，在引入换元法之后，能够大大简化对原有不等式的证明难度，这样，就能够有效地提升学生解不等式的效率.教学实践证明，在指导高中生解决不等式的过程中，通过换元法是十分有效的，通过换元之后，就能够把原本比较复杂的不等式简单化，这样，学生就能够达到高效解题的目的.其实，在高中数学数学教学中，有很多地方都可以渗透换元法，特别是在不等式解题中，通过换元的策略，能够切实提升解题效率.

三、运用模型思想，让不等式求解明晰化

在高中数学不等式解题教学中，运用模型思想能够达到事半功倍的效果.教师需要结合灵活多变的教学方式，更需要具备敏锐的目光，能够善于发现生活中的典型案例，然后将其引入数学课堂中，不仅可以对学生的思维形成有效引领，还可以辅助不等式的学习，有助于促进发散性思维，使学生在面对相同问题时能够生成不同的见解.对于这种教学方法而言，这就能够让学生在求解不等式的过程中，思路更加明晰化.

以“简单的线性规划”为例，这是高中学习过程中经常会出现的一类题型，而且与现实问题相关联，特别注重综合与变化，不仅揭示了不等式的几何意义，还能够在解决优化问题中体现其应有的价值.针对相关内容的教学，需要链接学生的生活经验，触发其旧知，并带领学生亲历问题的转化过程，将其抽象为数学模型，然后进行解释和应用，不仅可以帮助学生深入体会不等式的性质，也能够为提高优化思想奠定扎实的根基.在高中数学教学实践中，关键的难点是如何立足于现实生活提炼出抽象的数学模型，就此引发学生的深入剖析和探究，使学生体会并把握数学和现实生活之间的关联.如果选择反转课堂的方式将课堂延伸至课外，学生能够结合课堂所学展开交互行为，既有助于培养学生的逻辑思维，也能够使学生感受到学习数学知识的价值，对数学形成更深入的认知.

可见，高中数学教师不仅要熟悉高中数学教材，也需要掌握具有创新性的独特教学方法，能够在实际教学的过程中充分展现引导功能，促使学生展开独立思考.类似的问题必然会在学习过程中再次出现，而此时学生便能够通过独立思考，快速且高效发现正确的解题思路.所以，最优的教学方法就是全面提高学生的独立思考能力，使学生可以充分利用所学顺利解答问题或者对复杂问题进行简化，这才是数学教学的根本目的.

总之，在高中数学知识体系中，不等式占据着重要地位，也是必考知识点.《数学课程标准》特别强调数学思想在解题教学中的应用，渗透数学思想于不等式解题教学之中，能够达到事半功倍的教学效果.针对不等式的教学过程中，并不存在过难的知识点，所要考察的关键在于学生是否能够以不等式作为解题工具，能否以此作为必要的数学模型思想，提高自身的解题能力.对于一线高中数学教师而言，必须要立足于实践体现这些数学思想，需要在数学教育理论以及高考指导思想的引领下，有效地落实于教学，不仅是为了满足学生的知识以及情感需求，同时也有助于发展学生的思维能力，提高其解题能力.