苏凡文
(山东省泰安宁阳一中 271400)
(1)求C的方程;
(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.
(2)①直线MN不垂直于x轴时,设
MN:y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2).
消去y可得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-6=0.
m=1-2k时,MN:y=k(x-2)+1,直线MN过定点A(2,1),舍.
联立直线AB与椭圆方程得
(b2+k2a2)x2+2kma2x+(m2a2-a2b2)=0,
由韦达定理有
又A、B都在直线AB上,则有
y1=kx1+m,y2=kx2+m,
两式相加得
两式相乘得
将②③④⑤代入①得
因P不在直线AB上,则kx0+m-y0≠0,所以有a2(kx0+m+y0)=b2(y0-m+kx0),
推广六点P(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,过点P作PA⊥PB,PA、PB与抛物线分别交于异于点P的点A、B,则直线AB过定点(x0+2p,-y0).