合并同类项——带电粒子在组合场中运动的求解方法

饶开宏

(湖北省武汉外国语学校 430022)

带电粒子在组合场中的运动.情景常显得很复杂，尤其是在周期性变化的电磁场中的运动，给人眼花缭乱的感觉，这里介绍一种破解方法，希望能给大家的教学工作起到一个“抛砖引玉”的启发作用.

数学中常用到一种合并同类项的方法简化方程的形式，这里借鉴此法，将带电粒子在电场和磁场中的运动分割成两个整体，当做电场中的连续运动和磁场中的连续运动两个相对独立的过程.

例1回旋离子加速器，由两个半径为R的D型盒，两D型盒区域加垂直于D型盒的磁感应强度为B的匀强磁场，两盒之间加如图2所示规律变化的加速电压(中间区域为匀强电场)一个电量为q，质量为m的带电粒子从o点以可忽略的初速进入电场区域，设两D型盒间距为d，最后一次加速后便直接导出，求带电粒子在加速器中运动的总时间.

图1 图2

解析分析带电粒子加速的全过程，可简化为加速-偏转-加速-偏转…，反复运动，仔细分析其特征：1. 洛伦兹力不做功，不影响速率的变化，当然也起不到加速的效果.2. 在电场中的加速运动是一个匀加速的过程且每次的位移均为d. 3. 从时间累积来看，每一段在磁场中的运动都是经历了半个周期；若将电场中的运动连接起来，就是一个初速为零，总位移为Nd的匀加速直线运动(其中N为通过电场的次数——加速的次数)，分析和分解到此，情景就十分清晰了.最大速度设为v，

每次经电场加速增加的动能为ΔEk=qUm

在磁场中运动的总时间：

在电场中运动的总时间：

所以所加交变电场的周期也应作相应的调整，对于现代技术而言完全不是问题，可利用计算机直接控制.

其实，在空间不受限制的情况下，讨论带电粒子在交变的组合场中运动的位置；路程等空间量时，此法同样可用.

例2在光滑绝缘的水平桌面上建立一xOy坐标系，平面处在周期性变化的电场和磁场中， 电场和磁场的变化规律如图3所示(规定沿+y方向为电场强度的正方向，竖直向下为磁感应强度的正方向).在t=0时刻，一质量为10 g、电荷量为0.1c且不计重力的带电金属小球自坐标原点O处，以v0=2 m/s的速度沿x轴正方向射出.已知E0=0.2 N/C、B0=0.2πT.求：(2n-1)s～2ns(n=1,2,3,…)内金属小球运动至离x轴最远点的位置坐标.

图3

首先需计算在磁场中运动的周期

带电粒子的运动情形已然明了，先作类平抛运动1 s，接着作匀速圆周运动，完成一周回到圆周运动的起点，继续沿原抛物线运动1 s，再作匀速圆周运动…如此反复进行.“合并同类项”，则可将整个运动分别当作是连续的类平抛运动和在不同位置以不同速率进行的匀速圆周运动.

对于复杂运动我们通常采用运动的分解并抓住分运动的独立性和同时性进行处理，同样可以采取“先分割再整合”的方式进行求解，在考虑各段的独立性的同时，要特别重视交界处的特征物理量——联系两个过程的物理量，如以上两例中的交界处的瞬时速度和过程中速度的偏向角等.在(2n-1)s前已刚好在电场中运动n(s)

此时x=v0t=2n(m)，vx=v0=2 m/s

距离x轴最远时，即圆周此处的切线与x轴平行.

在磁场中运动的速度的偏向角φ2与电场中运动的速度的偏向角φ1的关系为

图4

φ1+φ2=π

ym=y+R(1+cosφ1)

xm=x-R*sinφ1

事物都是相互联系的，当我们在研讨物理问题时，遇到无法建立物理模型或者找不到突击方向等难题，可以从自然界、生活中或者其他学科中寻找借鉴和启发.