限定条件下的齐次分式最值问题求解策略

周 威

(湖北省恩施州教育科学研究院 445000)

齐次分式的最值问题一直是活跃在选择题、填空题中的热点问题.所谓齐次分式就是分子分母次数相同的分式.这类问题通常以二元或三元的一次、二次齐次分式为主,解法往往因题而异，但函数与方程思想、化归转化思想、数形结合思想和不等式放缩是解决此类问题的基本思想、方法，本文针对二元、三元齐次分式最值求解主要的、常用策略进行了总结归纳，供读者参考.

一、几何意义策略

图1

评注这里几何意义策略通常要考虑分式在斜率、距离等方面的内涵，这是数形结合思想的一个具体应用，一般以直线与圆的位置关系为考查对象.

二、一元二次方程策略

评注此类条件中一般有二次式，需将二元分式中的“一元”用“另一元”来代换，从而联立已知条件得到一个一元二次方程，再利用韦达定理中根与系数的关系求解，是函数方程思想的一种体现.

三、整体代换策略

评注利用整体代换策略的情况，条件中一般有等于常数的等式，代换时要注意“齐次”原则.

四、向量策略

图2

评注此题解法较多，也可以采用斜率策略进行求解，但都需要用到分类讨论思想，比较麻烦，而转化为向量的数量积，创新性的解决了问题，避免了复杂的讨论.

五、比值换元策略

1.利用基本不等式

评注在出现多元变量时，先通过比值换元进行“降元”处理减少变量；在利用基本不等式时要时刻注意“一正、二定、三相等”的约束条件及相关的“拼、凑”技巧.

2.利用非线性规划

图3

解由题意，f′(x)=3ax2+2bx+c，即对x∈R,f′(x)≥0恒成立，则

评注对于三元齐次分式的最值，通常采用不等式放缩，通过比值换元由三元变二元的“降元”处理，利用非线性规划知识解决问题.

3.利用函数值域

评注依然是三元齐次分式的最值，通过比值换元利用函数的最值性质求解.进一步可以看出，比值换元是“降元”的一种通用策略.

以上求解策略是二元或三元齐次分式最值问题解题常用方法，从而体现考查学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养.在复习备考时，做题肯定是必不可少，“会做一道题，掌握一类题”也一直是我们数学练习中追求的目标，因此对解题策略的分析及通性通法的总结和应用，对题型、知识点、思想方法的提炼，是从“四基”角度落实核心素养的基本途径.