经历数学建模 凸显概念本质——《分数的初步认识》教材解读与教学建议

○刘爱东

分数是小学数学的核心概念之一，是在学生已经掌握了整数、平均分的意义的基础上进行教学的。从整数到分数，是学生数概念的一次重要扩展。

教学《分数的初步认识》，重在借助直观模型，帮助学生从直观层面感知、理解分数的基本内涵，为进一步建立相对完整、抽象的分数概念积累经验、提供支持。准确理解分数的初步认识的内容要求，对于学生进一步学习分数、顺利完成整数向分数的扩展、发展抽象思维能力具有十分重要的意义，同时也为学习小数做好铺垫。

一、教材解读

本单元的教学内容共编排了11个例题，分三个部分展开：

第一部分是分数的初步认识，共6个例题。其中，例1、例2教学认识几分之一，并结合几分之一的认识，说明分数的写法和读法、介绍分数各部分的名称；例3教学几分之一的大小比较；例4、例5教学认识几分之几；例6教学同分母分数的大小比较，目的在于帮助学生更好地理解分数的含义。

第二部分是分数的简单计算，共3个例题。其中，例1教学同分母分数的加法，例2教学同分母分数的减法，例3教学1减去几分之几。主要是借助直观操作理解算理、掌握算法，目的也是为了加深学生对分数含义的理解。

第三部分是分数的简单应用，共2个例题。其中，例1教学认识一个整体的几分之一和几分之几，例2教学求一个数的几分之几的实际问题。

教材的编排基于小学生的认知特点，分层递进、螺旋上升，把知识的内在逻辑和学生的认知规律有机融合，帮助学生逐步加深对分数的理解。

1.基于已有经验，逐步体会分数多元表征。

在具体的情境中，分数既可以用来表示一个具体的“量”，也可以用来表示两个数量之间的关系，即“率”。教材顺应学生认知特点，从分数的现实意义出发，通过“把一个整体平均分”的具体操作，帮助学生有层次地理解分数的含义。

教学例题前，教材设计了“户外野餐”的情境图，图中有许多分数的生活实例，如苹果一人半个、一块月饼平均分成了2块、一个西瓜平均分成了8块等。一是唤醒学生已有生活经验，充分感受“平均分”；二是激发认知冲突，凸显分数产生的必要性。

“分数的初步认识”中的例1、例2，从学生平均分物体的经验出发，引导他们结合现实情境逐步认识到：把一块月饼平均分成2份（4份），每份是块（块），每份又是这块月饼的；把一个圆平均分成3份，一张长方形纸平均分成5份与此类似。显然，这里的几分之一，既表示每份的数量，也表示每份数量与相应整体数量之间的关系。因为是把一个物体或一个图形平均分，分数作为“量”与“率”的结果是相同的，所以学生无须对这两种结果加以区分。

“分数的简单应用”中例1第（1）题，引导学生迁移学习几分之一的经验，通过剪一剪的活动，实现由一个物体到一组物体的自然过渡。第（2）题直接呈现“把6个苹果平均分成3份，1份是苹果总数的”，引导学生在操作中认识到，当“把一组物体看成一个整体”进行平均分时，其中的1份不再表示每份的具体数量，这里的只是表示每份数量与相关整体数量之间的关系。安排这2个例题的目的，是要把分数的“量”与“率”的含义区分开来，引导学生真正体会到，分数经常被用来表示部分与整体之间的关系这一基本内涵，从而使原有的认识得到提升。

2.凸显度量属性，感受分数单位累加过程。

几分之几既可以看成两个整数相除的结果或两个整数之间的比，也可以看成若干个分数单位累加的结果。比如可以看成由2个累加的结果。教材的编排意图是在学生认识几分之一的基础上，引导他们通过单位分数的累加进一步认识几分之几。这样不仅有助于学生在理解几分之一的基础上自主类推、理解几分之几的含义，而且能为进一步探索同分母分数的大小比较、同分母分数加减计算提供思路和方法。

“分数的初步认识”中的例4，要求“把一张正方形纸折成同样大的4份，再把1份或几份涂上颜色”，引导学生基于直观逐步类推：每份是它的这样的2份是2个，就是它的；这样的3份是3个，就是它的。涂几份就有几个，也就是这张纸的四分之几。例5也是同样的道理。

“分数的简单应用”例1第（2）题，同样在引导学生认识一个整体的几分之一后，让学生借助直观明确：把6个苹果平均分成3份，1份是苹果总数的，所以2份是苹果总数的这样的过程安排，符合“相同计数单位的数可以直接累加”的计数原理，突出了几分之一的基础地位，也突出了几分之几是由若干个相同分数单位累加的结果，有助于培养学生迁移类推的能力，形成合理的认知结构。

3.借助几何直观，促进主动探究。

为加深学生对分数含义的理解，教材结合认识几分之一和几分之几的教学，穿插安排同分母分数的大小比较、同分母分数加减的内容，引导学生通过实际操作或借助直观图形，自主探索、积极思考、提高认识。

“分数的初步认识”中，在教学几分之一的初步认识后，紧接着安排例3两组比大小的活动：第一组借助实物模型教学，在两个同样大的月饼上切一切，分别表示出再比较它们的大小；第二组借助面积模型教学，在两张同样大的长方形纸上折一折、涂一涂，表示出再比较它们的大小。引导学生结合操作和交流，初步发现“把同样大的月饼（纸片）平均分，分的份数越多，每一份反而越小”。这样安排，一方面有助于学生掌握比较几分之一大小的思考方法，另一方面有助于学生通过直观比较分数的大小，进一步加深对分数含义的认识。

教学几分之几的初步认识后，编排了同分母分数的大小比较和同分母分数加减运算。其中，“分数的初步认识”中的例6，引导学生通过操作、观察，直观认识到：因为表示2个表示3个，2个小于3个，所以小于。“分数的简单计算”中的例1，引导学生在“吃西瓜”的现实问题情景中认识到：2个加的和是。同样道理，例2中5个减去2个剩下3个，所以的差是例3直接出示算式，通过图示，引导学生理解“1可以看成4个就是即从4个中减去1个，剩下3个，所以1减的差是。上述的思考过程，依然突出了几分之几的基本含义，能够促进学生进一步体会几分之几与相关分数单位的内在联系，加深对分数含义的理解。

4.解决实际问题，突出分数概念的内涵。

为帮助学生更加透彻地理解作为部分与整体关系的分数的内涵，培养解决问题的能力，新教材增加了“分数的简单应用”的内容。其中例2是解决实际问题，首先引导学生联系“一个整体的几分之一”的已有经验，明白“其中是女生”的含义，再借助画图操作或实际学具“分一分”“拿一拿”，进而明确：因为是女生，求女生人数就是把12平均分成3份，1份是多少，列式是12÷3=4（人）。例3也是同样的思路。

二、教学建议

1.基于学习起点，建构数学模型。

分数概念的建模过程，分为三个层次。

一是由现实问题到直观模型。比如，教学几分之一时，借助教材创设的分月饼的情境，让学生在平均分的操作过程中，产生对分数的内在需求，认识到当平均分的结果不能用学过的整数表示时，为了表示“这块月饼的一半”，就要引入一种新的数。然后引导学生把不同大小的圆形纸片代替饼，在动手操作中明确半个饼是怎么得到的，初步理解二分之一的含义。

二是由直观模型到数学模型。通过交流“这块月饼的一半是怎么得到的”，引导学生应用数形结合思想，将图形表征、文字表征和动作表征相结合，抽象概括出再通过分月饼、圆和长方形纸，分别得出进而在寻找相同点的过程中，明确分数的含义、写法和读法，抽象概括出分数模型。

2.自主探究规律，凸显概念本质。

本单元只是分数的初步认识，因此，学习同分母分数大小的比较和同分母分数加减运算，目的是借助几何直观，帮助学生理解分数的含义。教学中，我们要以“单位”为主线，凸显分数的度量属性。从“单位”的角度看，自然数、小数、分数虽然在表征形式上各不相同，但其本质都在于“计数单位及其个数的累加”。

抓住几分之一这个“单位”进行思考，有利于学生体会、感悟几分之几是由几个几分之一组成的，加深学生对分数含义的理解。教学中，要让学生利用对几分之一和几分之几的认识，结合直观图形或具体操作，主动探索相关分数的大小比较方法和分数加减的计算方法，使学习过程成为学生主动参与、充满思考的实践和创新过程。

3.立足分数内涵，培养数学思维。

初步理解一个整体的几分之一和几分之几，是学生理解分数含义的重要一环，而把几个物体组成的整体，平均分成若干份，用分数表示这样的一份或几份，仅仅是指部分与整体之间的关系，其结果通常与一份或几份的实际数量在形式上完全不同。因此，教学中要启发学生根据相关分数的含义进行思考，帮助他们沟通知识间的内在联系，在解决问题的同时，获得对分数含义更为透彻的理解。

比如，教学“分数的简单应用”例1，认识一个整体的几分之一第（1）题时，可以先用表示一个正方形的涂色部分，然后用剪刀把这个正方形平均分成4个小正方形，再引导学生思考“涂色部分是4个小正方形的几分之几”，把一个物体巧妙地拓展为一个整体进行思考。教学第（2）题时，可以先让学生直接回答问题：“把一盘苹果平均分给3只小兔，每只小兔分得这盘苹果的几分之几？”引导学生基于对一个物体的几分之几的已有认识，得出“每只小兔分得这盘苹果的的结论，再出示6个苹果组成的集合圈，并提出：“如果这盘苹果有6个，你能在图中表示出这盘苹果的吗？”由此明确，一盘苹果不管有多少个，只要是把它平均分成了3份，每份用来表示，2份用来表示。教学例2时，重点要引导学生通过对“其中是女生是男生”这一条件的理解，进一步体会解决这类问题的关键是：抓住分数的含义进行思考。

资料存盘

1.《分数的初步认识》课标解读。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“学段目标”的第一学段中提出：初步认识分数；发展数感。在“课程内容”中提出：能结合具体情境初步认识分数，能读、写分数；能比较两个同分母分数的大小；会进行同分母分数（分母小于10）的加减运算。

2.分数的定义。

通常这样定义分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数，叫做分数。分数的一般形式为和n都是正整数），读作n分之m。n是把单位“1”平均分成的份数，称为该分数的分母；m表示有这样的几份，称为该分数的分子。分数也可定义为：整数m除以整数n（n≠0）所得的商。分数还可定义为：整数m与整数n（n≠0）的比。

3.分数线和“分数”名称的由来。

分数线的由来：1175年，阿拉伯数学家阿尔·哈萨首先使用了“分数线”符号，用一条短线将分子、分母上下隔开。

“分数”名称的由来：200多年前，瑞士数学家欧拉在《通用算术》一书中说：要想把7米长的一根绳子分成三等份是不可能的，因为找不到一个合适的数来表示它，如果我们把它分成三等份，每份是米，像就是一种新的数，我们把它叫做“分数”。