数学思想在高中解析几何中的运用

付泽

摘  要：解析几何是一门以代数的形式进行图形研究的学科，将变量引入了几何的领域，在整个高中数学具有重要地位。解析几何中常用到的数学思想有：数形结合思想、转化化归思想、分类讨论思想和函数与方程思想。该文就这4种思想在解析几何中的应用做简要的说明，以期在今后的学生学习和教师教学中达到“化抽象为直观，化复杂为简单的”效果。

关键词：数学思想  高中数学  解析几何  应用

中图分类号：G63                              文献标识码：A                    文章编号：1672-3791（2020）10（c）-0254-03

Abstract： Analytical geometry is a subject that conducts graphic research in the form of algebra. It introduces variables into the field of geometry. It has an important position in mathematics throughout high school. The mathematical ideas commonly used in analytic geometry are： the combination of numbers and shapes， transformation Reduction thoughts， classification discussion thoughts and function and equation thoughts. This article gives a brief description of the application of these four thoughts in analytic geometry， with a view to achieving the goal of “turning abstraction into intuition and turning complexity into Simple" effect.

Key Words： Mathematical thinking; High school mathematics; Analytical geometry; Application

解析几何是高中数学一个重要的内容，同时也是学生学习的一个难点。数学思想是数学学科的一般原理的重要组成部分，因此在教学中引入适当的数学思想有助于帮助学生进行问题的分析和研究。在高中解析几何中主要运用数形结合思想、转化化归思想、分类讨论思想及函数与方程思想。

1  数学思想在高中解析几何中的运用

1.1 数形结合思想

我国著名的数学家华罗庚说：“形缺数时难入微，数缺形时少直度观”。数形结合思想是中学数学常用的一种重要思想，实质上是指通过数与形之间的转化，将抽象的数量关系转化为具体的图形，根据图形所呈现出来的结构发现数量之间的较为直观的关系。数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”;第二种情形是“以形助数”。即将抽象的数学语言与直观的图形进行有机结合。

1.2 转化化归思想

转化化归是指通过某种转化，将未知解的问题转化为已有知识范围内容易解决的问题，通常在数量之间、图形之间、数量与图形之间进行转化。常见的转化化归的方法包括：直接转化法、换元法、数形结合法、等价转化法以及特殊化方法。在高中解析几何问题中求取值范围时用到此思想较多。下面以一道例题为例。

1.3 分类讨论思想

分类讨论是指在研究数学问题的过程中，根据题目的要求或者实际情况对问题进行划分，最后对所有可能的情况做概括说明。在进行分类讨论时，要保证分类科学，标准统一，不重不漏，分类方式力求最简。

1.4 函数与方程思想

函数与方程是高中数学中的两个重要的概念，二者之间有着密切的联系，方程问题也可以转换为函数问题来求解，反之亦然。函数思想是通过函数的特征建立函数的模型，利用函数的性质进行解题;方程思想对方程概念本质的认识，是通过构建方程或方程组来分析数学问题中变量间的等量关系，或者利用方程的性质去分析、转换、解决问题。

在解析几何中，函数与方程思想的应用非常广泛，例如：两条直线的位置关系、圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系等都是通过建立方程进行求解。在圆锥曲线的问题中，常常是将直线与圆锥曲线方程进行联立，利用韦达定理计算弦长、交点坐标等问题。在利用函数与方程思想解决解析几何问题时，要注意挖掘隐含的等量关系，利用代数的形式加以表示，再利用对方程求解或利用函数的性质达到解决问题的目的。

2  结语

高中數学知识相对来说难度较大且知识量较多。在学习的过程中，学生容易陷入死记硬背、知识点模糊不清的困境中，因此在高中数学教学中融入数学思想，可以帮助学生构建完整的知识体系，对所学习的知识有更加深入和透彻的理解，在很大程度上能够提高学生综合运用的能力，同时提升自我的数学素养。

参考文献

[1] 库热西·艾力尤夫.数学思想在高中解析几何中的应用研究[J].中国校外教育，2020（2）：49-50.

[2] 尚莉杰.高中解析几何数学思想方法教学研究[D].湖北师范大学，2018.

[3] 冯园新.高中解析几何数学思想方法教学研究[D].河北师范大学，2016.

[4] 秦峰秀.数学思想方法在解析几何教学中的渗透[J].高中数学教与学，2018（4）：32-33.

[5] 徐德明.高中解析几何知识中数学思想方法的教学策略研究[D].哈尔滨师范大学，2019.

[6] 尚莉杰.高中解析几何数学思想方法教学研究[D].湖北师范大学，2018.

[7] 朱立明.高中生数学学科核心素养测评指标体系的构建[J].教育科学，2020，36（4）：29-37.

[8] 陈亚萍，曾小平.TIMSS2015对高中生数学认知的评价研究[J].数学通报，2020，59（7）：8-11，18.

[9] 乔泽轩，刘岗.高中数学习题课中小组合作学习的教师指导研究[J].现代中小学教育，2020，36（8）：40-44.