对称性在函数求值问题中的运用

郑碧星 吴志鹏

(福建省德化第一中学，362500)

函数图象的对称性是函数的一个基本性质.在函数求值问题中，若能掌握好两者之间的关系,可达到事半功倍的解题效果.

图形的对称性主要有轴对称和中心对称两大类.对定义在R上的函数y=f(x),我们熟知有如下结论:

本文只研究函数图象的自身对称性问题.

一、用抽象函数的对称性求值

若题中给出的抽象函数满足上述条件,不仅可直接由对称性求相应函数值,还可利用对称性、奇偶性(也是对称性),即通过双对称性挖掘题设隐含的周期性,简化解题过程.

(A)-50 (B) 0 (C)2 (D)50

解 由f(1-x)=f(1+x),知f(x)的图象关于x=1对称,即f(x)=f(2-x).又f(-x)=-f(x),故f(x)=-f(-x)=-f(x+2)=f(x+4),f(x)以4为周期.

由f(0)=0,f(1)=2及f(1-x)=f(1+x),可得f(2)=0,f(3)=-2,f(4)=0,故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.

二、用特殊函数的对称性求值

我们学习过的很多基本初等函数,它们的图象具有轴对称和中心对称的特性,这些特殊的函数经过一定的加工、变形、整合也具有对称性或局部对称性.

1.利用奇偶函数平移伸缩后的对称性

例2设函数f(x)=(x-2)2sin(x-2)+3在区间[-1,5]上的最大值和最小值分别为M,m,则M+m=______.

解将奇函数g(x)=x2sinx的图象向右平移两个单位,再向上平移3个单位,得f(x)的图象.故f(x)的图象关于点(2,3)对称,最大最小值的平均数为3,可得M+m=6.

(A)2 (B) 4 (C) 6 (D)8

如图1,易见两图象所有交点共有4对,每对交点关于点(1,0)成中心对称,横坐标之和为2,所有交点的横坐标之和等于8.选D.

(A) 0 (B) 504

(C) 1 008 (D)2 016

2. 利用指数对数型函数经过运算变换后的对称性

3.利用对称函数迭加后的对称性

若函数h(x)和g(x)(x∈D)的图象皆关于直线x=a对称,则f(x)=h(x)+g(x)的图象在D上也关于直线x=a对称.

若函数h(x)与g(x)的图象分别关于点(a,b),(a,c)中心对称,则f(x)=h(x)+g(x)的图象关于点(a,b+c)中心对称.

例7(2017年全国高考题)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( )

解令g(x)=x2-2x,h(x)=a(ex-1+e-x+1),则f(x)=g(x)+h(x),且g(x)的图象关于x=1对称.又h(x)的图象是由偶函数y=a(ex+e-x)的图象右移1个单位得到,其图象关于直线x=1对称(或由h(x)=h(2-x)知),可得f(x)的图象关于直线x=1对称.

评注识破命题者对零点问题的新包装方式,熟悉对称函数叠加后保持的对称性,可避繁就简、顺利求解.

三、用混合型函数的对称性求值

有时问题的设计并非是单纯的抽象函数或单纯的具体函数,而是把具有对称性的抽象函数和具体函数有机结合,构建考查求值问题.

(A) 0 (B)m(C) 2m(D)4m

解因f(x)的图象可由f(x+1)的图象向右平移1个单位得到的,所以它关于x=1对称;又y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|,其图象也关于x=1对称,故题设交点关于直线x=1对称.

(A)0 (B)m(C) 2m(D)4m

故选B.

解令m=n=0,可得g(0)=3.再令n=-m,得g(m)+g(-m)=6,因此g(x)的图象关于点(0,3)对称.

四、用复合函数型的对称性求值

复合是函数的一种重要运算,许多具有对称性质的函数通过这种变换仍具备对称性,解题时应注意挖掘.

解令h(x)=x2-2x+3,其图象关于直线x=1对称,即有h(x)=h(2-x).

又g(x)=f(h(x)),故g(2-x)=f(h(2-x))=f(h(x))=g(x),g(x)的图象关于直线x=1对称.

评注本题的复合函数没有给出任何外层函数的信息,仅仅提供了内层函数.利用二次函数的对称性,验证复合函数依旧保持对称性,使解题过程呈现山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村的境界.