刚性飞轮转子临界转速下的振幅分析

任正义，黄 同，周元伟，张绍武

（1.哈尔滨工程大学工程训练国家级实验教学示范中心，黑龙江 哈尔滨 150001；2.哈尔滨工程大学机电工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001）

1 引言

飞轮储能系统是一种用高速旋转的转子储存能量的惯性装置[1-2]，为了使转子系统的机械磨损减少，储能效率量达到最大，磁悬浮轴承逐渐被广泛用作支撑轴承。这对转子系统的动态精度提出了更高的要求。对于高转速的旋转机械，在达到工作转速的过程中需要越过临界转速，由于不平衡量和陀螺效应的存在，转子在通过临界转速时会产生很大的振动。因此研究飞轮转子在通过临界转速时的振动幅值以及影响因素是十分有必要的。

文献[3]研究了高速电机机组轴系的临界转速及振动模态，并分析了联轴器刚度和结构参数对临界转速的影响。文献[4]分析了盘式转子分别以定角加速度和定功率通过两阶临界转速的瞬态振动。文献[5]研究了具有非对称刚度的简单Jeffcott 转子系统等变速过程的瞬态响应。在大多数情况下，转子的非平稳响应很难获得。Dimentberg（1961）将Jeffcott 转子以恒定的角加速度运行时，获得了菲涅耳积分表达式的解析解[6]。大多数转子瞬态分析只研究了转子径向二自由度的偏移，没有分析径向的偏转。因此这里建立了四自由度转子瞬态运动微分方程，利用龙格库塔数值积分法，分析了600Wh 飞轮转子系统在通过低阶临界转速的振动响应，并分析了角加速度和等效阻尼对其特性的影响。

2 刚性转子四自由度运动方程

当转子系统的转速在工作范围内运行，弹性变形可以忽略不计时，转子被认为是刚性的[7]。根据电磁轴承工作原理[8]，在建立模型时可将其等效简化为弹簧-阻尼单元结构，k1，k2为上下轴承的刚度系数，c1，c2为上下轴承的阻尼系数。一个刚性转子五自由度的偏转模型，如图1 所示。其中，圆盘安装在刚性轴的中点，设O-xy 为静止坐标系，相对于地面保持静止不动，O-x′y′为旋转坐标系，固定于转子径向横截面上随着转子转动。首先，推导出运动方程。轴的中心线穿过几何中心M（x，y），重心G（xG，yG）距离点M 有一偏心e。转子的旋转角度由ψ 表示，该角度是线MG 与x轴之间的角度。设转子质量为m，惯性矩为Jp，作用于转子上的力为，重心周围的扭矩为分别表示转子质心与x轴、y 轴的偏转角度，θx，θy分别表示转子轴线绕x 轴、y 轴的偏转角度。Mxz，Myz分别表示作用在轴系转子xz 平面、yz 平面上的力矩。由牛顿第二定律，得到：

图1 五自由度偏转模型Fig.1 Four Degrees of Freedom Deflection Model

等式右边，并通过转换坐标：

式中：τ—转子的初始偏斜角度；βτ—主轴倾斜方向与G 方向之间的角度。

由于加速度恒定，相当于转子的绕z 轴旋转的自由度固定，得到四自由度转子在静坐标系下的瞬态运动微分方程组[9]：

式中各参数值，如表1 所示。为600Wh 飞轮储能样机系统参数，将其带入上式，求解该系统的固有频率。

表1 600Wh 飞轮储能样机系统参数Tab.1 600Wh Flywheel Energy Storage Prototype System Parameters

所求出的坎贝尔图，如图2 所示。由图可知，得到系统的三个临界转速ωc1，ωc2，ωc3，其中，ωc2为转子的反向涡动，不考虑其值。由此得到刚性转子的平动临界转速ωc1＝2580r/min，倾斜运动临界转速ωc3＝11880r/min。

图2 刚性转子坎贝尔图Fig.2 The Campbell Diagram of Rigid Rotor

3 飞轮转子瞬态响应分析及实验验证

3.1 瞬态响应分析

本节考虑刚性飞轮转子的基本振动表现，分析了转子以恒定加速度λ 通过临界转速时的不平稳运动。设不平衡量me 的初始角度为βτ=ψ0，转子的初始角速度为ω0，加速开始时间取t=0，得到角度：

将上式代入式中，进行龙格库塔数值积分求解，得到转子从某一转速（包括零转速）线性加速，分别通过系统的平动临界转速和倾斜运动临界转速时的振幅变化，分析转子的动挠度和偏转角。取偏心距e=1.592μm，转子初始倾斜角度τ＝arctan（0.01/277.5），分别采用不同的加速度和不同等效阻尼，从静止开始加速结果，如图3～图4 所示。

由图3（a）可知，当转子进入共振范围后，挠度迅速增大并达到最大值，然后减小，相对缓慢地改变振幅。不同角加速度下挠度峰值对应转子的临界转速，三种加速度所对应的临界转速为2860r/min 左右，与坎贝尔图中所求解的平动临界转速吻合，如图2 所示。角加速度对转子通过平动临界转速时的振幅有影响，角加速度从1.5rad/s 增加到2rad/s 时，幅值变化并不明显，但达到3rad/s 后，振幅的峰值明显减小很多。图3（b）中的产生偏角峰值对应的转速为11460r/min 左右，与图2 坎贝尔图中所求解出的倾斜运动临界转速吻合。从图中可以看出，角加速度对转子偏角峰值几乎没有影响。

图3 角加速度对两阶临界转速下振幅的影响Fig.3 The Influence of Angular Acceleration on the Amplitude at Two Critical Speeds

图4 等效阻尼对两阶临界转速下振幅的影响Fig.4 Effect of Equivalent Damping on Amplitude at Two Critical Speeds

由图4 可知，等效阻尼对平动和倾斜运动的振幅都是有影响的。其中由图4（a）可知，阻尼越大，平动临界转速下的挠度越小。图4（b）中，阻尼越大，倾斜运动临界转速下的偏角越小。对于所研究的刚性转子来说，等效阻尼与电磁轴承控制系统和转速有关，根据文献[10]取刚性转子的等效阻尼为55N·s/m。共振区的幅值随角加速度增大而减小，但角加速度越大，越过幅值后的变化越缓慢，因此选择图5 曲线中斜率变化最大处，即加速度约为3rad/s2。

由于旋转坐标不考虑转子自转对轴心运动的干扰，因此可以在旋转坐标O-x′y′中清晰地看到轴心运动轨迹。其中旋转坐标O-x′y′旋转运动的相对坐标x′，y′与转子极坐标r，φ 有以下关系：

将其代入式中的前两个等式，得到转子在旋转坐标下的轴心轨迹，如图6 所示。当转子从零转速开始以角加速度λ=3rad/s加速到最大工作转速时，转子轴心作螺旋曲线运动，先由平衡位置向外偏移，随后偏移量逐渐减小，最终稳定在平衡位置附近。这种现象充分体现了转子的自定心作用，当转子能够越过临界转速，之后转子的振幅会越来越小。

图5 转子振幅-角加速度曲线Fig.5 Rotor Amplitude-Angular Acceleration Curve

图6 角加速度为3rad/s 的轴心轨迹Fig.6 Axis Trajectory with Angular Acceleration of 3rad/s

3.2 试验验证

通过所选的最佳自转角加速度和阻尼，通过600Wh 飞轮储能样机进行试验数据采集分析。其中飞轮储能样机，如图7 所示。给定转子自转角加速度λ=3rad，电磁轴承的等效阻尼为c＝55N·s/m，转子转速在2600r/min 时上下轴承位置径向的轴心轨迹，如图8 所示。取采样频率f1=3000N。由图中可以看出，转子上下两端的轴心偏移集中在（0.14～0.15）mm 之间，与理论分析出的结果相同，且两端的偏移量大致相同，表明此时转子的运动几乎为平动振型。转子在9100r/min 时，取采样频率f=5000Hz，其轴心轨迹，如图9 所示。此时转子的偏移较为明显，且最大偏移角度集中在0.001rad，与理论分析结果也很吻合。上下两端轴心偏移量的不同，表明此时转子的振动为平动和倾斜运动的合成，由于安装和制造误差，转子的质心与和几何中心在轴向存在偏差。

图7 600Wh 飞轮转子系统样机和三维建模Fig.7 Prototype and Modeling of 600Wh Flywheel Rotor System

图9 转速为9100r/min 时转子轴心轨迹Fig.9 Rotor Axis Trajectory at 9100r/min

4 结论

以600Wh 飞轮储能样机系统参数为依据，建立了四自由度刚性转子具有恒定角加速度时的瞬态运动微分方程，通过龙格库塔数值积分法分析了不同角加速度和阻尼下两阶临界转速时的振幅变化，得到以下结论：（1）刚性转子有两阶固有频率，且固有频率是随着转速变化而变化。其中一阶临界转速下的振型为平动，二阶临界转速的振型为倾斜运动。（2）转子自转角加速度对倾斜运动的共振偏角几乎没有影响，但对平动下的偏移影响明显。角加速度越大，平动时的共振偏移越小，但幅值之后的衰减震荡越缓慢。（3）等效阻尼对平动和倾斜运动的振幅都有显著影响。阻尼越大，平动的共振偏移和倾斜运动的共振偏角越小，但过大的阻尼同样会使幅值之后的衰减振动越来越缓慢。（4）由于转子自转角加速度对倾斜运动的共振偏角没有影响，所以在设计合理且共振偏角在标准允许范围内时，可以将倾斜运动的临界转速包含在工作转速内。