一类混杂系统的必要最优性条件

李丽花

(上海电力大学 数理学院, 上海 200090)

混杂系统是指包含离散事件动态系统和连续变量动态系统且两者相互作用的系统。这类系统在化学过程、自动化系统和电力系统等领域得到了广泛的应用。

近年来,混杂系统的最优控制引起了人们的广泛关注。文献[1]利用动态规划和粘性解理论得到了最优切换的必要条件和充分条件。文献[2-3]研究了混杂最优控制问题的数值算法。对于含有两个切换子系统的混杂系统,文献[4]利用嵌入法,得到了原混杂控制问题的必要最优性条件和充分最优性条件。其他有关混杂系统的最优控制问题,可参考文献[5-10]。

文献[5]利用变分原理得到了一类混杂系统的必要最优性条件,但其证明过程相对繁琐。本文通过引进一个新的参数,将可变区间上的混杂问题转化为固定时间区间上的最优控制问题,再利用古典的最优控制理论,得到了原混杂系统的必要最优性条件。

1 问题描述

设时间变量t0

(1)

式中:x(t)∈Rn;

u(t)∈Rm;

fk∈Rn,关于其变量连续且具有连续偏导;

r∈Rl;

Mk∈Rn,关于其变量二次连续可微。

记θ=(t1,t2,t3,…,tN-1),则目标为确定满足式(1)的向量组(θ,x(t),u(t)),使得以下函数的值最小。

(2)

式中:Lk∈R;

φk∈R(k=1,2,3,…,N),关于其变量二次连续可微。

为方便起见,记上述问题为(P)。

2 主要结论及其证明

对于k=1,2,3,…,N,令

xk(s)=x[tk-1+s(tk-tk-1)],s∈[0,1)

uk(s)=u[tk-1+s(tk-tk-1)],s∈[0,1)

则问题(P)可转化为如下古典问题(Q):

(3)

本文的目标为确定(t1(s),t2(s),t3(s),…,tN-1(s),x1(s),x2(s),x3(s),…,xN(s),u1(s),u2(s),u3(s),…,uN(s)),使得以下函数值最小。

(4)

定理1设 (θ0,x0,u0) 为问题(P)的弱极小值,雅可比行列式D(x(t0),x(tN))r(x0(t0),x0(tN))的秩为l,l为正整数,则存在分段连续的变量(λ1(t),λ2(t),λ3(t),…,λN(t))T,μ=(μ1,μ2,μ3,…μl)T,使得对

Hk(x(t),u(t),λk(t))=

以下结论成立。

(1) 协态方程

(2) 边界条件

λ1(t0)=-Dx(t0)[μTr(x0(t0),x0(tN))]

λN(tN)=Dx(tN)[φ(x0(tN))+μTr(x0(t0),x0(tN))]

(3) 极小值原理

u0(t)=arg min{Hk(x0(t),uk,λk(t))|uk∈Rm}

(4) 连续条件

k=1,2,3,…,N-1

S (5) 跳跃条件

k=1,2,3,…,N-1

λk(tk(s)-tk-1(s))fk(xk(s),uk(s))]=

以下条件成立。

(5)

k=1,2,3,…,N-1

(6)

(7)

(8)

k=1,2,3,…,N-1

(9)

k=1,2,3,…,N-1

(10)

k=1,2,3,…,N-1

(11)

k=1,2,3,…,N-1

(12)

u0(s)=

(13)

利用

(14)

则由式(5)可得(1)协态方程,由式(13)可得到(3)极小值原理。

定理证毕。

定理1中(4)连续条件体现了哈密尔顿函数在切换瞬间的连续性,这是文献[5]所没有的结论,而该性质有助于得到混杂系统的最优解。因此,本文的结论改进了已有的结果。

3 例 子

考虑混杂最优控制问题:

minJ(x,u,t1)=

(15)

使得

(16)

其中,u是一维向量,0≤u≤2,t1是可变的。

根据最优控制理论,在[0,t1)阶段,该最优控制问题的哈密尔顿函数为

H(t)=u(t)+2x(t)+λ(t)(u(t)-x(t))

(17)

利用定理1中的(4)协态方程,经计算可得协态变量为

λ(t)=c1et+2

(18)

利用(3)极小值原理,可得

(19)

设转换函数为c1etm+3=0。利用状态方程和初始条件可得

(20)

同理,可以求出在[t1,2]上的控制变量、状态变量和协态变量。利用转换函数所满足的方程、状态函数在t1时刻产生的跳跃、(4)连续条件和(5)跳跃条件,可得出一个非线性方程组。利用MATLAB编程求解该非线性方程组,得该混杂系统的最优跳跃时刻为t1=1.640 0。

控制变量、状态变量和协态变量的曲线如图1所示。

图1 控制变量、状态变量和协态变量曲线

4 结 语

本文考虑了一类同时含有脉冲和切换等离散特性的混杂最优控制问题。与传统的变分法不同,通过引进一个新的时间变量,将切换时间转化为新的待确定函数。再利用古典的最优控制理论,得到原混杂系统的必要最优性条件,改进了已有文献的结果。