基于主成分分析的CBA球队综合评估指标权重计算

周亚辉，毛可亲

(1.台州学院 教师教育学院，浙江 临海 317000；2.岳阳市第四中学，湖南 岳阳 414000)

指标权重表示某一指标在综合评价中的重要程度，权重越大说明该指标的重要性越高，对整体的影响越大.常用的权重确定方法有：专家打分法、Delphi 法、AHP 法、主成分分析法(PCA)等[1，2].

CBA 联赛是由中国篮球协会主办的、国内最高级别的篮球联赛.从比赛的角度看，一支球队的攻防综合能力受到很多因素的影响，通常可以在球队的比赛统计数据中得到体现.目前，相关研究主要集中在CBA 联赛参赛球队攻防能力的对比和评价方面[3～6]，很少关注球队综合能力相关影响因素的权重分析.本文根据CBA 官方提供的2019～2020 赛季各参赛球队常规赛比赛统计数据，提出一种基于主成分分析的球队综合能力相关因素权重计算方法，为CBA 球队攻防综合能力评估提供参考.

1 主成分分析法

主成分分析是将原有多个相关性较强的变量重新组合，生成少数几个彼此不相关的新变量，并尽可能多地提取原有变量的信息.假设有n个样本，每个样本有p个指标变量，构成一个n×p的数据矩阵

记原有变量指标为x1，x2，…，xp，变换后的新变量指标为z1，z2，…，zm(m≤p)，新变量通常可以表达为原有变量的线性组合：

其中，新变量指标zi(i=1，2，…，m)称为原变量指标x1，x2，…，xp的第i主成分，lij是原指标变量xj(j=1，2，…，p)在主成分zi(i=1，2，…，m)上的系数.

主成分分析的计算步骤为：

(1)计算相关系数矩阵

其中rij(i，j=1，2，…，p)为原变量xi和xj的相关系数.

(2)计算特征值和特征向量

解特征方程|λE-R|=0，这里E是单位矩阵.求出所有特征值，并按其大小顺序排列为λ1≥λ2…≥λp≥0.分别求出对应特征值λi的特征向量ei(i=1，2，…，p).

(3)计算主成分累计贡献率

根据特征值，计算累计贡献率：

选取累计贡献率超过95%的特征值λ1，λ2，…，λm所对应的前m个主成分.

(4)计算原指标在不同成分线性组合中的系数

其中eij为第i主成分对原指标变量xj的载荷数.

(5)计算主成分贡献率

(6)计算原指标在综合模型中的系数

(7)指标权值归一化

最后根据归一化权值进行排序，即可得到该指标在综合得分模型中的权重.

2 球队综合能力指标权重计算

本文数据来自于中国篮球协会官方网站(https：//www.cba.net.cn/)公布的2019～2020 赛季常规赛球队基础数据(表1).通过相关系数分析，得到相关系数(表2).求解相关系数矩阵的特征方程，得到特征值和累计贡献率(表3).

表2 相关系数

表3 特征值和累计贡献率

由表3可知，前4 个主成分的方差累计贡献率达到95%以上，说明前4 个主成分几乎可以反映原有指标的信息.因此，取前4 个主成分.

进一步得到各主成分对原指标的载荷(表4).表4中，第1 主成分对得分的载荷是0.942039.

表4 各主成分对原指标的载荷

根据式(5)，计算原指标在不同成分线性组合中的系数，见表5.

表5 原指标在主成分线性组合中的系数

根据式(6)，得到各主成分贡献率分别为0.832978、0.0825381、0.0557323、0.0287518.根据式(7)和(8)，计算得到各指标的权重值及排名，见表6.

表6 综合模型中指标权值

从表6可知，在综合能力模型中，影响因素最大的三个指标为：得分、篮板和助攻.

3 结论

本文基于主成分分析方法，计算了CBA 2019～2020 赛季各参赛队进攻和防守的综合能力，并对影响因素权重大小进行排序.研究表明，在球队综合能力模型中，影响因素最大的三个指标分别为：得分、篮板和助攻.另外，犯规的指标权值超过了0.14，略小于助攻，所以防守动作的规范程度也是提高球队综合能力的一个重要方面.