形数结合的完美与神韵

摘 要：一些几何图形是有面积公式的，例如我们熟悉的三角形、梯形、矩形、菱形、正方形甚至筝形。一些代数恒等式可以用几何图形的面积来表示，当一个几何图形的面积可以直接表示时，我们就得到了一个等式。由图形到代数恒等式，再由代数恒等式到图形，体现了形数结合的完美与神韵。文章作了如下的教学设计：引导学生通过若干长方形和直角三角形的拼图面积的两种表示，最终引出部分代数恒等式的拼图证明。

关键词：拼图;面积公式;矩形;正方形;直角三角形;平方差公式;完全平方公式;解题方法;形数结合

一、 引言

实施素质教育已经有二十多年了。在目前阶段，素质教育将明确以培养学生的创新精神和实践能力为重点，而要达到这样的目的，必须确立学生在学习中的主体地位，培养学生肯学、能学、会学。下面笔者结合课题学习《拼图与代数恒等式》的教学实践为例，谈谈这节课的教学体会与教学过程的设计。

首先，笔者对本节内容进行一些分析。

二、 教材结构与内容简析

本节内容在全书及章节的地位：《面积与代数恒等式》是（苏教版）七年级数学第九章《整式乘法与因式分解》中的一个数学活动学习，在此之前，学生已学习了《幂的运算》《整式乘法》等内容，这为过渡到课题学习起着铺垫作用。

數学思想方法分析：作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识，本节课在教学中将主要展示形数结合的数学思想方法。

三、 教学目标

根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制订如下教学目标：1. 能体会图形与代数之间的联系，弄清几何背景，感受它们的几何意义。2. 在经历探索、讨论、交流、应用数学知识解释有关问题的过程中，从中体会数学的应用价值，发展数学思维能力，获得一些研究问题、解决问题的经验和方法。

四、 教学重点难点

本着新课程标准，在吃透教材基础上，我确立了如下的教学重点、难点。

重点：通过探索与思考体会数学的应用价值，增强对数学的开放性、探索性和实践性的认识。

难点：对问题的观察与探索的方向的把握。

下面，为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的学习目标，笔者再从学法上谈谈。

数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”，而且要使学生“知其所以然”，我们在以学生为主体的原则下，展现获取知识和方法的思维过程。基于本节课的特点，采用“超前尝试，教学合一”的教学方法。即在前一天的晚上发给学生一张16开的学案，让学生在自学课本有关内容的基础上完成。

1. 学案内容如下：

预习要求：七年级数学（下）P88的《数学活动》内容以及用硬纸片做一些符合要求的直角三角形和正方形的学具。

一、 预习自查题：

如图：在一块边长为a米的正方形实验田的边长增加b米，做成四块实验田，以种植不同的新品种，请你用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较，你发现了什么？

二、 尝试探究题：

1. 如图（1）是由边长为a的大正方形右下角剪去一个边长为b（b

2. 如图：已知正方形ABCD、EBFG的边长分别是a、b，请你用不同的方法表示阴影部分的面积，并进行比较，你能得出什么结论？

最后笔者来具体谈一谈这一堂课的教学过程。

尝试题点评：主要是让学生讲解题的思考过程、解题方法的提炼过程，当然主要目的是检查预习效果。学生预习是为了更好地消化新教材，牢固地掌握基础知识。消化与巩固教师所传授的知识，必须有一个过程，认真地阅读与钻研教材，是消化教材牢固地掌握基础知识的重要措施之一。课本上的一些定义、特征、识别及某些结论的叙述和概括，学生总不是一听课就掌握的，必须进行课前预习和尝试，才能够加深理解，逐步学会用正确的数学语言去叙述它们，也能为灵活运用打下基础。否则即使有些学生接受能力较强，似乎听了课后就能掌握，但如果不肯在预习上花些工夫，掌握也会是暂时现象。

2. 讲解例题：以上得到的结论都是等式，这些等式称之为恒等式，我们可以用直观的几何图形形象地表现出有些代数恒等式，还可以有许许多多代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来说明其正确性。

老师用设问的语调来鼓励全班学生一起来试一试能否画出下列代数恒等式的几何面积值。

观图形（课件显示），要求是由四个小组各完成相应序号的一个小题。

5分钟后，各小组分别派出一位代表上黑板画图，然后这四位同学一一说明。老师一一讲评后可总结出有代表性的答案。

接着老师再讲解第2个倒题：拿出你昨晚准备好的四个完全一样的直角三角板，它们的两条直角边分别是a、b，斜边为c，还给你三个分别以a、b、c为边长的正方形板，请你用拼图的方法来证明：a2+b2=c2（可以是小组合作进行）。

6分钟后，老师可在实物投影仪上演示出大部分学生的答案。

如①图：阴影部分是一个正方形，它的边长是a-b，面积为（b-a）2，又可表示为：

c2-4×12ab，这样就可以得到：（b-a）2=c2-4×12ab，整理后就可得到：a2+b2=c2。

如②图：可以先把两个直角三角形如此拼好，由此可得到四边形ABCD是一个直角梯形、△DEC是一个等腰直角三角形，梯形ABCD的面积可表示为：12（a+b）（a+b），即12（a+b）2，也可表示为：12ab+12ab+12c2，即ab+12c2，所以有12（a+b）2=ab+12c2，即a2+b2=c2（并说明这一种方法是美国一位总统的证明）。

也可以利用学生们答案中的两个不同图形，启发学生将此两个图形中的正方形ABCD面积的两种表示来验证a2+b2=c2。

因为①图中的正方形ABCD的面积为：b2+a2+4×12ab，即a2+b2+2ab，而②图中的正方形ABCD的面积为：c2+4×12ab，即c2+2ab，因为拼的两个正方形是一样大的，所以有：a2+b2+2ab=c2+2ab，即a2+b2=c2。

3. 学生学习反思：经过学生的课前预习和教师的尝试题讲评和例题讲解，学生肯定会对这节课的内容的学习有所反思，也只有通过反思，他们对这节课所授知识的理解才能达到“更上一层楼”的境界。如果每节课都坚持这样操作，那么学生就会对数学学习产生浓厚的兴趣，就会产生强烈的求知欲望，就会全神贯注、积极主动、富有创造性地对每天所学的知识加以关注和研究。

4. 安排课堂考核：其目的是当堂检查学生的知识掌握情况。

五、 教学反思

《数学课程标准解读》指出：“学生的数学学习不能仅仅是掌握一些概念和技能，而必须经历合作学习、探索、猜想、推理等过程，解决有关的问题。”这就要求我们数学教学工作者要把培养学生良好的思维品质贯穿于整个课堂教学之中，有计划、有目标、有意识地注意引导学生的合作学习，培养创新能力。上述的教学案例可以在下面几个方面进行总结。

（一）引导学生自学，培养思维的敏捷性

有些初中学生思维较呆板，解题时常会生搬硬套，为了克服学生机械模仿的定势思维，应当重视培养他们思维的敏捷性。本节课的学习对象具有一定的难度，要在45分钟的一节课上达到熟练掌握、融会贯通是不可能的，好在教材给出了3个例子，为学生的思维提供一定的方向，所以只要组织学生们课前预习，再上老师在课堂上点拨启发，学生就可以不受教材中例子的局限，拓展了思路。

（二）提倡别出心裁，鼓励思维的开放性

本节课的学习对象具有很强的开放性，因为许多结论常常是未知的或不确定的，有的有待于猜想，有的存在几种可能，这就为鼓励学生的积极思维提供了极好地机遇与素材，这就要求学生既掌握常规的思维方法，又能独具匠心、独辟蹊径，以简捷的、跳跃式的思维抓住问题的核心，出奇制胜。另外在教学中启发学生一题多证，从多角度、多方位、多层次去观察和思考问题，使学生积极地、多渠道地寻求解题途径，也可以培养学生思维的开放性。

（二）鼓励动手探索，发展思维的创造性

在本节课的学习中，我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用画图或用一些硬纸片拼成的图形面积来解释这些代数恒等式，而学生通过实验来作探索研究，再加上相互之间的合作交流，就会激发探索的兴趣，培养研究的能力，锻炼想象能力、构造能力，发展创造性思维能力。当然在学生的学习過程中要提倡先独立思考，再进行合作交流，使每个学生的思维都能得到锻炼，解题能力得到提高。

参考文献：

[1]王国兵.今日说“法”：谈谈面积的应用[J].初中生世界，2015（6）.

[2]王颖.初中数学数形结合思想教学研究与案例分析[J].数理化解题研究，2015（3）.

[3]赵海英.浅谈面积与代数恒等式[J].数学学习与研究，2016（3）.

作者简介：蔡洁，江苏省宜兴市，江苏省宜兴市实验中学。