基于四方向全变分的图像去噪模型*

滕 鲜，彭 英，杨奋林

(吉首大学数学与统计学院,湖南 吉首 416000)

1 问题的提出

2 TV4去噪模型的构造

在经典的TV模型中,一般采用像素点的向前差分或者向后差分来离散化梯度,于是在(i,j)处的梯度模一般为|+ui,j|或者|-ui,j|.由基本不等式易证，

由以上计算过程可知,J(u)的稳定点就是如下方程组的解:

(1)

3 模型的求解

(2)

可以验证线性方程组(2)的系数矩阵是对称正定矩阵,一般采用预共轭梯度法求解.当不动点迭代到预先给定的最大迭代步数kmax,或者‖u(k+1)-u(k)‖2小于等于预先给定的阈值λ时,终止迭代.算法的具体步骤如下：

(ⅰ)给出kmax、阈值λ和α,β,令k=0,u(0)=z.

(ⅱ)将u(k)代入方程组(1),得到线性方程组(2),求解得到u(k+1).

(ⅲ)计算‖u(k+1)-u(k)‖2,如果‖u(k+1)-u(k)‖2≤λ或者k+1=kmax,那么令u=u(k+1),记录迭代次数k+1,算法停止,否则令k=k+1,转步骤(ⅱ).

4 实验部分

实验选用有明显的边缘和光滑过渡部分的300×300 Lena图像和540×466 Moon图像,来比较TV4模型和TV模型的去噪效果.2个模型均用不动点方法求解,取kmax=10,α=4.5,β=10-6,λ=10-4.线性方程组用预共轭梯度法求解.2个模型恢复图像的迭代时间(t)、迭代次数(Iter)和信噪比(SNR)见表1.

表1 2个模型的迭代时间、迭代次数和信噪比

由表1可知,TV4模型的迭代时间和迭代次数比TV模型的少,信噪比却更高.这说明TV4模型的去噪效果优于TV模型.

图1和图2分别示出了Lena和Moon的原始图像、噪声图像及2个模型的去噪图像.

图1 Lena图像Fig. 1 Lena Image

图2 Moon图像Fig. 2 Moon Image

由图1可以看出,2个模型恢复的图像的边缘都很清晰,但由TV模型恢复的Lena图像的脸蛋和肩膀等光滑过渡部分有明显的阶梯效应,而TV4模型恢复的图像则较光滑,视觉效果较好.这说明TV4模型既有TV模型的保边缘优点,又能有效抑制阶梯效应.由图2可以看出, Moon的原始图像中有多处圆形边缘, TV4模型恢复的圆形边缘比TV模型恢复的要好.

5 结语

图像去噪是图像处理中的基础性研究课题,边缘是图像的重要特征.TV模型有较好的保边缘性,是图像去噪中常用的方法之一,但是会产生阶梯效应.笔者利用像素点的梯度的向前、向后差分构造了一个TV4模型，不动点方法求解时，TV4模型的迭代时间和迭代次数比TV模型的少,信噪比却更高.对比2个模型对Lena和Moon图像的去噪效果可知， TV4模型既有TV模型的保边缘优点,又能抑制阶梯效应,且TV4模型的非线性程度比TV模型的低.