整体法，想说少你不可以——利用平方差公式分解因式之整体法

文韩光东

整体法广泛应用于初中数学中，对于因式分解，更是不可或缺。简单来说，其就是把问题或某些条件当成一个整体来处理，在解题时，不是着眼于问题的局部，而是有意识地放大考虑问题的“视角”。下面，我们主要从利用平方差公式分解因式方面，让同学们体会如何使用整体法。

我们都知道，因式分解中的平方差公式是：a2-b2=（a+b）（a-b）。为了让同学们更深刻地认识这个公式，明确公式中a、b可以代表的具体内容，我们换一种形式表达：A2-B2=（A+B）（A-B）。这里的A、B既可以指一个数字或字母，也可以指一个复杂单项式或多项式。当A、B指代的是一个复杂单项式或多项式时，我们就需要把这个单项式或多项式当作一个整体来看待，即公式中的A或B，这就应用了整体法的思想。

一、体会整体法

例1 因式分解：16a2-9b2。

【分析】运用整体法不能脱离公式，所以同学们在解决问题前要对所学公式熟练记忆，认清公式的结构特点；要去思考，问题是不是符合公式使用的结构特点，或能不能轻松转化成对应的结构。平方差公式的结构特点：有两项，且是“平方”减去“平方”。对于本题，我们发现16a2能够转化为（4a）2，9b2可以转化为（3b）2，这里的4a、3b就相当于公式中的A、B，这样我们就可以应用公式来处理了。

解：原式=（4a）2-（3b）2

=（4a+3b）（4a-3b）。

例2 因式分解：（2a+b）2-（a-2b）2。

【分析】观察式子，若把（2a+b）和（a-2b）看作一个整体，即公式中的A、B，则（2a+b）2-（a-2b）2可看作两项，符合平方差公式的条件，故可以用整体思想来因式分解。同学们要注意分解以后对式子的化简与分解彻底。

解：（2a+b）2-（a-2b）2

=［（2a+b）+（a-2b）］［（2a+b）-（a-2b）］

=（3a-b）（a+3b）。

例3 因式分解：9（a+b）2-4（a-b）2。

【分析】对于部分同学来说，这道因式分解题有一点难度。主要是因为他们没有整体意识，拿到问题就想着展开，殊不知这是“南辕北辙”。因式分解是把多项式化成几个整式积的形式，而不是把它计算、化简出来。只要掌握了整体法的处理方式，再复杂的因式分解也不再困难。本题在结构上有两个部分，能看出来是“平方”减“平方”的形式。我们考虑用平方差公式进行解决，接下来，要找的就是公式中的A、B。9（a+b）2可以化成［3（a+b）］2，4（a-b）2可以化成［2（a-b）］2，那么 3（a+b）、2（a-b）就相当于公式中的A、B。然后，就剩套用公式以及化简、分解彻底的问题了。可能部分同学会出现找错A、B的情况，把9（a+b）、4（a-b）当作A、B，这是对平方差公式的结构特点认识不清造成的。有时我们凭感觉做题，是不够的，还要有依据。

解：9（a+b）2-4（a-b）2

=［3（a+b）］2-［2（a-b）］2

=［3（a+b）+2（a-b）］［3（a+b）-2（a-b）］

=（5a+b）（a+5b）。

二、整体法的灵活运用

例4 已知 4m+n=90，2m-3n=10。求（m+2n）2-（3m-n）2的值。

【分析】本题看上去像是代入求值的问题，但一看条件，并不能直接代入。再观察要求的式子的结构特点，把m+2n、3m-n当成整体，看作A、B，符合平方差公式，因此考虑先因式分解。至此，问题得到解决。

解：（m+2n）2-（3m-n）2

=［（m+2n）+（3m-n）］［（m+2n）-（3m-n）］

=（4m+n）（3n-2m）

=-（4m+n）（2m-3n）。

当4m+n=90，2m-3n=10时，

原式=-90×10=-900。

例5 已知a、b、c是△ABC的三边，试判断（a2+b2-c2）2-4a2b2的正负性。

【分析】若把a2+b2-c2和2ab看作整体，当成公式中的A、B，则（a2+b2-c2）2-4a2b2可以看作两项，符合平方差公式的结构。由此，可想到利用平方差公式因式分解，然后利用三角形的三边关系，从而解决问题。

解：（a2+b2-c2）2-4a2b2

=（a2+b2-c2）2-（2ab）2

=（a2+b2-c2+2ab）（a2+b2-c2-2ab）

=［（a2+b2+2ab）-c2］［（a2+b2-2ab）-c2］

=［（a+b）2-c2］［（a-b）2-c2］

=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c）。

∵a、b、c是△ABC的三边，

∴ a+b+c＞0，a+b-c＞0，a-b+c＞0，a-b-c＜0，从而（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）·（a-b-c）＜0，即（a2+b2-c2）2-4a2b2＜0。

【总结】运用整体法进行因式分解，关键是能够把要分解的多项式与公式对应起来，找准公式中的A、B，再套用公式就可以了。这里，同学们对公式的结构特点要认识透彻，如果对应不准确，到头来就是竹篮打水——一场空。