行星运动轨道方程与水星的近日点进动问题——基于牛顿引力理论与相对论动力学理论*

米立功，张 利，杨江河，谢 泉，鲁军旺，朱增辉，骆娟娟

(1.黔南民族师范学院物理与天文系，贵州 都匀 558000；2. 贵州大学大数据与信息工程学院，贵州 贵阳 550000；3. 湖南文理学院，湖南 常德 415000)

牛顿万有引力理论在描述天体运行方面取得了巨大的成功，但后来发现利用牛顿力学不能对水星近日点进动、引力红移、光线在引力场中的弯曲等问题作出合理的解释.直到1915年，爱因斯坦利用广义相对论首次解决了水星近日点进动问题[1]，引力红移与光线在引力场中弯曲的预言也相继通过实验得到证实.一般而言，较之广义相对论，读者更熟悉经典的牛顿万有引力理论.那么在牛顿万有引力理论与相对论之间是否存在着某种内在的联系？如何在熟悉的牛顿万有引力理论与狭义相对论知识的前提下，讨论牛顿万有引力理论很难解决的物理问题？笔者尝试基于牛顿万有引力理论与相对论动力学理论的相关知识，探讨水星的近日点进动问题，思路如下：首先尝试利用相对论动力学中动量的概念推广牛顿的万有引力定律，然后利用推广的牛顿万有引力定律探讨水星近日点进动问题.

1 万有引力理论探讨

在牛顿万有引力理论与相对论动力学理论中，对力的定义都是动量对时间的变化率.只是牛顿万有引力理论对动量PN的定义为：动量等于质量乘以速度.这里，质量不随时间变化，大小等于物体静止时的质量.如果用m,v分别表示物体静止时的质量与运行速度，则有PN=mv.于是结合力的定义，可以得到牛顿第二定律的数学表达式：FN=ma.这里，a，FN分别表示物体的加速度与物体所受到的力.牛顿万有引力理论给出了行星与中心天体之间的引力与其质量和距离之间的关系：Fg=-GMmer/r2.这里，G为万有引力常数，M与m分别是中心天体与行星的质量，r是行星与中心天体之间的距离，er是从中心天体指向行星的位移方向的单位矢量.需要说明的是，在牛顿第二定律中出现的质量为惯性质量，在万有引力定律中出现的质量为引力质量.大量的实验表明，引力质量与惯性质量是等效的，所以牛顿在处理行星运行问题时对两种性质不同的质量未加以严格区分.后来，爱因斯坦将两种质量的等效性上升为原理的高度，提出了著名的等效原理.在本研究中,笔者依然基于大量实验的结论，认为这两种质量是等效的[2-3]，统一用m表示.行星受到中心天体的作用力由万有引力提供，于是有

(1)

在相对论动力学理论中，动量Pr的定义为Pr=γmv.这里γ=(1-v2/c2)-1/2为洛伦兹因子，其中c为光速.比较牛顿万有引力理论与相对论动力学理论可知，相对论动力学理论中的动量定义式比牛顿理论给出的动量定义式多了一个洛伦兹因子.由于物体的运行速度不会超过光速，利用泰勒级数可以将洛伦兹因子展开为

(2)

于是，动量为

进一步，物体受到的力

(3)

这里，av为沿着速度方向的加速度.如果物体的加速度方向与物体运行的速度方向相同，则式(3)可化为

(4)

当物体在中心天体的引力作用下竖直下落时，显然，引力的方向与加速度的方向相同，利用式(4)，笔者将牛顿万有引力公式(1)推广为

(5)

物体在中心天体的引力场中自由下落时，如果在垂直于引力方向获得一个恒定的速率v⊥，并不会改变式(5)中引力的大小，但将改变物体的运动轨迹.基于这种考虑，笔者进一步假设：物体在万有引力作用下的一般的轨道运动都满足式(5).

从本质上说，狭义相对论是基于相对性原理与光速不变原理建立起来的理论，它所描述的时空是平直的闵可夫斯基时空.这里值得注意的是：狭义相对论指出，物理定律在所有惯性系中都相同.牛顿的引力定律不具有洛伦兹协变性，它还只是一个反映物理现实的近似理论[4]，因此笔者仅是寻找一个比牛顿万有引力理论更优的引力方程式(5)，以达到能启发读者对引力本质思考的目的.一般而言，一个比牛顿引力理论更优的理论至少需要满足两个条件：其一，在速度远小于光速时能回归到牛顿的万有引力定律；其二，能比牛顿万有引力理论更好地解释更多的物理现象.式(5)显然满足第一个条件，笔者将通过式(5)解释水星近日点的进动问题来验证其优于牛顿的万有引力理论.

2 水星近日点进动现象的理论解释

式(5)取一级近似，得

(6)

采用几何单位制(G=c=1)，根据式(6)，水星的引力势能

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

不难解得

(13)

(14)

Δφp=φ2π-2π=2πε，

(15)

即

(16)

这就是行星近日点进动率的公式.对于水星在近日点的进动，通过式(16)计算得到的进动率为43角秒每世纪，这与广义相对论的结论是一致的，说明笔者的假设具有合理性.

3 小结

笔者在牛顿万有引力理论的基础上，结合相对论动力学理论，在一定的假设下给出了一个能够解释水星近日点进动的引力方程.仅仅利用大学物理中读者们熟悉的理论知识去探讨通常只有在广义相对论中才能解释的物理现象，这在读者对广义相对论不是很熟悉的前提下是一种有意义的理论探索.通过对引力理论的探讨，可以启发读者对科学理论发展规律的认识，即当旧理论无法解释新的物理现象时，需要利用新的物理思想或原理在旧理论的基础上发展新的物理理论.同时，这种理论探讨还能引导读者对牛顿力学、相对论动力学与广义相对论之间知识链的思考，激发读者的科学探索精神.