数学化：赋予数学实验自然生长的力量

孙佳燕

摘  要：“数学化”能赋予学生数学实验自然生长的力量。“数学化”的数学实验能让“归纳”与“演绎”深度对接，能让“直觉”与“理性”并蒂共生，能让“思维”与“创造”和谐相融。在数学教学中，教师要用解疑证惑引发数学实验，用合情猜想引领数学实验，用理性审视反哺数学实验。

关键词：小学数学;数学实验;数学化

当下，一个个新教育理念的诞生，一项项新教学材料的问世，一种种新教育技术的呈现，昭示着数学实验可以越来越“精致化”。着眼于对学生数学理性精神的培育，对学生数学缜密思维、数学批判质疑意识的培育。笔者认为，在数学实验的过程中，教师可以进行对数学实验进行数学化。数学化，能赋予数学实验自然生长的力量。

一、“数学实验”的数学化释义

所谓数学实验的“数学化”，是指学生借助数学学习工具、器材、实物等，通过“数学化”的观察、操作等方式来建构数学概念、探索数学规律、发现数学法则、公理等。数学实验的“数学化”特质，是数学实验区别于其他实验如科学实验、美术实验等的核心素质。数学实验的“数学化”，要求学生用“数学的眼光”来考量实验，用“数学的思维”来进行思考、探究。具体而言，数学实验的“数学化”应该包括数学观察、数学思维、数学推理、数学想象、数学操作、数学概括等。

1. “归纳”与“演绎”深度对接

从根本上说，学生数学实验探究与验证的主要方式有三：类比、归纳与演绎。数学实验，不仅有助于学生的数学演绎，更有助于学生的数学类比、归纳。在数学实验的过程中，学生需要进行合情猜想，需要进行清晰的、有条理的实验论证，等等。比如教学“三角形的三边关系”（苏教版四年级下册），教师提供结构性的小棒让学生分类操作，则属于外在的归纳性实验操作。而学生在实验过程中，不仅通过物质实验，而且通过思想实验（如两点之间线段最短）等进行论证，则体现了学生实验的演绎性品质。数學的公理、法则等，往往就是在“归纳”与“演绎”的和谐圆融中得到数学化的论证。

2. “直觉”与“理性”并蒂共生

数学实验的数学化特质，不仅仅表现为学生的数学直觉，更表现为学生的数学理性。一般来说，数学直觉有助于数学发现、数学猜想，而数学理性有助于数学论证。数学实验，要充分开发学生的全脑，让学生的左右脑协同活动、和谐共融。比如教学“三角形的内角和”，学生根据数学直觉，用“量角法”“折角法”“拼角法”等进行数学探究，这样的一种探究就是基于数学直觉的实验探究。在探究过程中，有学生不满足于实验的粗糙，寻求更为数学化的验证方式。比如有学生画出了平行线，利用角之间的相等关系进行严密推理;有学生将长方形分成两个直角三角形，推导直角三角形的内角和;将锐角三角形、钝角三角形沿着高分成两个直角三角形，从而推导出锐角三角形、钝角三角形的内角和，进而概括出三角形的内角和。“直觉”与“理性”的并蒂共生，让数学实验焕发出生命的活力。

3. “思维”与“创造”和谐相融

“数学实验”开辟了学生“用手思考问题”的道路。正是在“动手做”的过程中，解压了学生的数学思维。思维的解压助推学生萌发创意。因此，数学化的“数学实验”能让学生“思维”与“创造”的和谐相融。比如教学“圆锥的体积”（苏教版六年级下册），传统的实验都是教师给学生提供等底等高的圆柱和圆锥，借助沙子或水进行数学实验。基于数学化的视角，教师应当放手让学生探究。要把握好实验的“主体”与“主导”关系，给学生提供必要的素材、指导。当教师赋予学生充分的探究时空，学生就会产生各种创造性的实验方式，比如将橡皮泥圆锥捏成圆柱;比如将圆锥完全浸入水中或装满水，借助量筒测量溢出的水的体积或圆锥中的水的体积;比如将圆锥装满水倒入圆柱，探求圆柱和等底等高的圆锥之间的关系，等等。在数学实验的数学化过程中，教师不仅要指导学生观察、操作，更要指导学生进行抽象、概括——“必要的凝聚”。

著名的数学教育家波利亚说过，“数学有两个侧面：一方面是欧几里得式的严谨科学，从这方面看，数学像是一门系统的演绎科学;但创造过程中的数学，看起来却像一门实验性的归纳科学。”数学化的数学实验，兼具数学实验的归纳与演绎、直觉与理性、实践与创造。正是通过“数学化”，数学实验能够彰显出独特的育人课程价值。

二、“数学实验”的数学化路径

从根本上说，“数学化”也就是引导学生经历数学的活动过程。“数学化”，可以分为“横向数学化”和“纵向数学化”。所谓“横向数学化”，就是从实验材料到实验结论的过程;所谓“纵向数学化”，就是对实验结论进行精致化的过程。在数学实验过程中，教师要警惕过度追求实验结果的实验虚化;要警惕问题引领的实验盲目;要警惕理性分析缺失的实验回顾，等等。

1. 问题：让解疑证惑引发数学实验

基于“数学化”的数学实验不是机械的、盲目的，而应当具有一定的针对性。运用“问题引领”，能让数学实验有的放矢。问题引领，可以激发学生的实验需求，可以引发学生的实验期待，可以点燃学生的实验兴趣，可以引导学生的思维跟进，等等。比如教学“长方形和正方形的面积”（苏教版三年级下册），笔者给学生提供了大小不一的长方形以及单位面积的小正方形，让学生用单位面积的小正方形进行自主地拼摆。在学生实验的过程中，笔者提出了这样的几个要求：观察每行拼摆的个数与长方形的长，拼摆的行数与长方形的宽，拼摆的总个数与长方形的面积。通过这样的问题，引领学生的数学实验。学生一边猜想一边实验验证，一边实验验证一边猜想。通过不断地猜想、验证等活动，学生自主建构长方形和正方形的面积公式。在数学化的实验过程中，问题往往是思维的基础。作为教师，要引导学生质疑问难，形成学生数学实验的生长点、生发点，进而对学生的数学实验发挥推波助澜的作用。

2. 想象：让合情猜想引领数学实验

数学猜想、想象是一种试探性的思维。想象导引不同于问题导引。问题导引往往是清晰的、明确的，而想象导引则是具有一定相关性的实验引领。著名的数学家波利亚认为，一个好的数学家必须是一个猜想家。数学化的数学实验，将猜想与实验验证紧紧地联系在一起。比如教学“圆的面积”（苏教版五年级下册），许多教师在引导学生做实验时，往往直接将圆剪拼成十六等份或三十二等份，然后拼成近似的长方形。这样的实验，学生完全被牵着走。笔者认为，教师可以先借助方格图引导学生猜想圆的面积与半径的平方之间的关系。以猜想为源头，然后引导学生进行推理性实验，能让数学实验具有方向性。比如学生会主动观察长方形的长、长方形的宽与圆的半径之间的关系，能主动思考长方形的面积与圆形的面积之间的关系，等等。在进行数学比较的过程中，学生自然能建构出“圆的面积”的公式。

3. 反思：让理性审视反哺数学实验

基于“数学化”的数学实验需要学生的积极反思。在数学教学中，教师要引导学生对实验的过程与实验的结果作数学化的审视。换言之，教师要引导学生用数学化的眼光观照实验，用数学化的大脑考量实验，用数学化的语言表达实验。通过理性反思、审视，发展学生数学抽象能力、逻辑推理能力和数学建模能力。比如教学“平行四边形的面积”（苏教版五年级上册），笔者在学生通过剪、拼、移的数学实验将平行四边形转化成长方形，进而推导出平行四边形的面积之后，笔者引导学生对实验过程进行“回头看”，引导学生反刍、追问：为什么要沿着平行四边形的高剪开？这样的问题倒逼学生自我审视。换言之，不沿着平行四边形的高剪开还可以将平行四边形转化成长方形吗？这样的反思，能让学生用理性反哺数学实验，能让学生的数学实验走向深刻。学生对于数学实验不仅“知其然”，更“知其所以然”，还“知其所必然”。

数学实验的“数学化”路径，关键是让学生在数学实验的过程中产生数学化的意识，形成数学化的认识。只有借助“数学化”，学生的数学实验才不会剑走偏锋，从而具有数学特质。数学化的数学实验，不仅要求学生对实验结果具有数学化的判断，而且对实验过程也有着相应的理性认知。

数学实验的关键、核心在于让数学实验“数学化”。只有让数学实验“数学化”，才能让学生的数学实验不是仅仅停留在简单的、机械的、盲目的“操作化”层面。通过数学化的操作、数学化的思考、数学化的探索、数学化的审视、数学化的拓展等，才能让学生真正理解数学实验。通过“数学化”的数学实验，学生的数学思维才能从低阶迈向高阶，进而才能有效地提升学生的数学核心素养。