深度思考：让学生数学学习深度发生

宋娅玲 童冬兰

摘  要：学生数学学习的效能是与学生的数学思考尤其是深度思考密切相关的。在小学数学教学中，教师要引导学生辨析内容、明晰方法、实践反思。通过数学思考，生成学生对数学的洞察力、敏感力，催生学生数学的想象力，从而发展学生的数学学习智慧，让学生的数学学习深度发生。

关键词：小学数学;深度思考;深度学习

小学生数学学习过程是一个既触及外在活动因素，又深入学生数学内在思维因素、思考因素的缓慢推进过程。学生数学学习的效能与学生的数学思考尤其是深度思考密切相关。数学思考具有个体性、潜在性、稳固性的特质。在小学数学教学中，教师要激发学生数学深度思考。通过学生的数学深度思考，提升学生数学学习力，发展学生的数学核心素养。数学深度思考，不仅能让学生的数学学习真正发生，而且能让学生的数学学习深度发生。

一、辨析内容：数学“深度思考”的根基

从认识论的视角来看，学生的数学学习依赖于内外两种因素，其中外在因素是条件，内在因素是根据。外在因素诸如学习的内容、素材、工具等，内在因素诸如学生的数学感知、思维、记忆、想象活动等。在学习实践中，外在因素和内在因素是彼此交织、相辅相成、相互促进的。激发学生的数学深度思考，首先必须引导学生辨析学习内容，即让学生正确表征、把握思考的对象，从而更加明晰“思考什么”。

辨析学习内容，也就是要让学生明晰“思考对象”。已故著名数学教育家张奠宙先生说，教什么永远比怎样教更为重要，因为教什么牵涉到学生学习的方向问题。如果在教学中，学生的学习内容不合适、不恰当，那么教师的教学就会陷入“南辕北辙”的尴尬。辨析学习内容，一般地来说，有两个层面的内容：其一是学习内容的本质问题，其二是学习内容的结构问题。其中第一个问题是实体性的问题，第二个问题是关系性的问题。辨析学习内容，是数学深度思考的起点。比如教学“分数的基本性质”（苏教版五年级下册），许多教师只是从结构性、关系性角度引导学生进行认知。如首先让学生回忆分数和除法之间的关联，然后启迪学生除法中的“商不变规律”，引导学生类比推理出“分数的基本性质”。这样的教学是有失偏颇的，是缺乏学生的数学思考力、思维力的，是没有生命力的。事实上，在“分数的基本性质”教学中，要引导学生直面“分数的基本性质”本身，对这一内容进行深度思考、探究。如可以让学生借助一张纸的平均分操作，来认识“分数的基本性质”。学生将一张纸平均分成2份，表示其中的1份;或者将一张纸平均分成4份，表示其中的2份;或者将一张纸平均分成8份，表示其中的4份，等等。在折纸、涂色等外在的操作活动中，能激发学生的“火热的思考”：分数的大小有没有变化？为什么平均分的份数和表示的份数发生了变化，而分数的大小却能够保持不变呢？分数的基本性质和以前学习的哪些知识内容是密切相关的？如此，学生的深度思考就既能触及知识本质，又能触及知识结构。

美国教育家布鲁纳深刻地指出：“教学某些知识领域，并不是带着学生去铭记已有的结果，而是要教他如何去参与知识获取的过程，其核心要素就是要让学生去进行深度思考。”在数学教学中，数学思考不仅决定着学生的数学学习形态，更影响着学生的问题解决，制约着教学的变革。引导学生辨析学习内容，能有效地夯实学生数学深度思考的根基。

二、明晰方法：数学“深度思考”的核心

深度思考的过程就是学生数学思维的深度加工的过程，也是学生接受、巩固、转化、内化信息的过程。数学思考，是通往数学理解、数学领悟、数学运用的通道。明晰数学思考方法是数学深度思考的核心。如果说，辨析内容是让学生认识到“思考什么”，那么，明晰方法就是让学生掌握“怎样思考”。在数学教学中，教师不仅要引导学生全面觉知，还要引导学生学习画图、转化、比较、分析、综合等，引导学生进行问题解决策略的迁移，引导学生进行同化、联结，等等。

数学思想方法、数学思考方法是丰富的，其中最为重要的方法是分析法和综合法。所谓“分析”就是“执果索因”，也就是从问题出发，逐步去思考解决这个问题所需要的条件，其语法形式就是“要求什么，必须先求什么”“要求什么，必须已知什么”;所谓“综合”就是“由因导果”，也就是从条件出发，逐步思考根据这个条件可以得出的结论、可以解决的问题，其语法形式就是“通过什么，可以求出什么”“通过什么，可以得出怎样的结论”，等等。在数学教学中，教师要抓住数学思考的语法形式，通过语言去激活学生的数学思维，催生学生的数学想象。比如教学苏教版五年级上册“解决问题的策略——‘一一列举”，首先让学生感知问题，理解题意。“王大叔用22根1米长的木条围一块长方形花圃，怎样围面积最大？”学生展开自主思考、合作交流，形成了多向交互的分析思路。如有学生认为，根据“怎样围面积最大”，可以想到围法不止一种;有学生认为，根据“围成长方形花圃”，可以想到“与长方形周长相关”;有学生认为，根据“22根1米长的木条”，可以得出这样的结论，即“围成的长方形的长或宽一定是整数，因为木条不可以锯断”，等等。在对题意进行深度表征、分析思考之后，学生逐步清晰了问题解决策略，即运用“列举法”，找寻出所有可能的围法。据此，“解决问题的策略——列举法”的诞生就呼之欲出、水到渠成。这是基于问题解决策略内容層面的分析。在此基础上，笔者引导学生分析解决问题的形式，有学生建议，根据周长是22米，可以先求出长方形的长宽之和;有学生建议，列举时要从小到大或者从大到小，也就是让列举更有序，既不遗漏也不重复;有学生建议，可以用表格的形式来列举，这样让列举更清晰、更一目了然，等等。数学的深度思考，让学生的问题解决更为精致、更为有效。

著名数学家笛卡尔说，最优价值的知识就是关于方法的知识。数学教学，不只是让学生掌握知识，更为重要的是生成学生的问题解决智慧。作为教师，要激发学生数学思考的共鸣点，化解学生数学思考的“矛盾点”，把握学生数学思考的“关键点”，消弭学生数学思考的“薄弱点”，进而不断地助推学生的数学思考、引导学生的数学思考。

三、实践反思：数学“深度思考”的关键

数学思考力是一种隐性的学力，是一种比较深刻、周全的思维活动。日本学者细野真宏认为，“数学思考力”是一种逻辑运用、本质关联、建立信息的能力。有深度的数学思考，不仅是指学生的正向性思考，还指学生的反向性思考（反思）。反思分为实践中的反思和实践后的反思，反思应当贯穿于学生数学学习的全过程。通过反思，学生的数学思考会更灵动、更敏捷、更深刻、更富有创造力。

在数学教学中，通过数学反思，可以帮助学生建立初步的数感、符号感，帮助学生建立初步的空间观念，发展学生的统计观念等。数学反思，既是学生对自我学习的清晰体认，也是学生数学学习力生成、数学核心素养生成的重要标识、有效路径。反思的过程是一个自觉审视、追问、评价的过程。从这个层面上说，反思是一种高阶思维。比如教学苏教版三年级上册的“轴对称图形”，在引导学生了解“轴对称图形的特征”之后，笔者相继出示了一般的平行四边形、长方形、菱形、一般三角形、等腰三角形、等边三角形、梯形、等腰梯形、圆等图形，让学生判断这些图形是否是轴对称图形。在判断辨析的过程中，笔者发现，有些学生依托直觉进行判断，有些学生则展开理性的判断，即根据轴对称图形的定义进行判断。为此，教师要引导学生反思：判定一个图形是否是轴对称图形应当怎样做？在教师的问题驱动下，学生会积极反思、内省、审视，会自觉地反刍、反躬自问：两边完全相同的图形一定是轴对称图形吗？轴对称图形就是左右两边的图形形状一样吗？借助反思，学生对一些“看似轴对称图形”而实质上不是“轴对称图形”的图形进行深度操作、探究，从而对轴对称图形的本质形成更为深刻的认知。

美国著名的教育家杜威说：“所谓‘反思，就是对经验进行重构或重组，从而让增加的经验形成能指导后续经验方向的能力。”在数学教学之中，教师要对学生头脑之中比较模糊、似是而非的内容诸如一些迷思概念、相异构想等进行追问。通过教师的追问、闪回等教学技巧、艺术，诱发学生思考的疑点，弄清学生思考的断点，架构学生思考的支点。

奥地利著名的思想家维特根斯坦說：“洞察矛盾是困难的。因为如果是在表面上抓住它，困难依旧原封不动，得不到改变。必须是连根拔起……才能形成一种新的眼光。”引导学生进行数学的深度思考，能让学生生成一种对数学的洞察力、敏感力，能催生学生数学的想象力，从而发展学生的数学学习智慧。