抓住“等效力”巧解静电场中的曲线运动

◇ 张大洪

带电粒子在静电场与重力场共同作用下的运动，是一类综合性强、知识面广、难度较大的问题；为了准确、快捷地处理该类问题，本文从“等效力”角度，利用“类比”的方法来简化带电粒子在静电场与重力场作用下的曲线运动问题.

图1

在图1所示的场强为E的匀强电场中，用长L的细丝线一端系质量为m、带电荷量为＋q的小球，另一端固定于场中O点；小球运动中受到重力mg、电场力qE及线上的拉力作用.将此模型与只在重力场中竖直平面上的圆周运动相类比有：

1)平衡位置P：小球能在场中保持静止时的位置P(如图1中的点P)即为小球的平衡位置，平衡位置P处满足

2)等效重力G′：小球在电场与重力场中受到的电场力qE与重力mg的合力即为小球具有的等效重力.由 图1知，故相应的等效重力加速度

4)小球绕点O运动过程中经过平衡位置P时，速度、动量、动能、加速度、线上的拉力均具有最大值.

5)小球能够绕点O在竖直平面内完成圆周运动的条件：小球必能经过平衡位置P相对于圆心O的对称点P′，即小球在点P′处线上的拉力满足FTP′≥0.

6)小球运动经过P′点时速度、加速度、线上拉力均处于最小值.

7)小球绕O点做圆周运动，任一运动过程均满足动能定理ΔEk＝W等效重力，且等效重力做功与小球运动的路径无关.

8)注意：当小球的初始位置和悬点的连线与“等效力”方向所成的夹角θ大于90°时，释放小球后，小球将先做一段直线运动至线产生张力后再做圆周运动.

例1如图2所示，水平光滑绝缘轨道AB与半径为R的光滑绝缘轨道BCD平滑连接，场强为E的匀强电场方向水平向左；一个质量为m的带负电滑块所受电场力等于重力，在A点由静止释放，它能沿轨道运动到与圆心O等高的D点.问AB至少多长?

图2

分析滑块在AB段受水平向右的电场力作用而做匀加速直线运动，然后进入BCD段在电场力、重力及轨道约束力的作用下做圆周运动.故滑块在BCD段中的平衡位置P的受力及偏角α如图3所示.由于电场力与重力相等，故偏角α＝45°，等效重力.要使滑块能沿轨道运动到D点，只需滑块能经过P点相对圆心O的对称点P′点即可，故对滑块经过点P′受力分析如图3所示，根据圆周运动规律得，且FTP′≥0，解得滑块在点P′的速度需满足

再对滑块从A经B到P′全过程应用动能定理有其中WAB＝qEsAB，WBP′＝mgR，故有，解得

例2如图4所示，一条长为L的绝缘细线上端固定，下端系一质量为m的带电小球，将它置于电场强度为E、方向水平向右的匀强电场中，当小球平衡时悬线与竖直方向成α＝30°角.则：

(1)小球带何种电荷?电荷量是多少?

(2)若将小球向右拉到悬线成水平的位置A，然后无初速度释放，问小球运动到何处时的速度最大?最大速度多少?线上最大张力多大?

(3)小球在位置A时至少要给它多大的垂直于细线向上的冲量才能使它能绕O点在竖直平面内完成圆周运动?

图4

(4)若将小球向左拉到使悬线成水平的位置B，然后无初速度释放，问小球经过多长时间悬线才能对它产生力的作用?

分析(1)如图5所示，点P为平衡位置，则qE＝mgtanα，故，且带正电.

(2)小球从点A由静止释放后必将以平衡位置P为中心做往复运动，故经过P点时速度、线上张力取得最大值.其等效重力，小球从A到P过程中有G′·(L－Lsinα)，故最大速度；此时P点小球受力如图5所示，由圆周运动规律可得，故最大张力

图5

(3)要使小球能从点A逆时针绕O点完成圆周运动，则小球必能经过平衡位置P相对于圆心O的对称点P′点，则有，且FTP′≥0，故

(4)将小球从B点释放后，小球在等效重力的作用下必沿与等效重力方向平行的BC线做匀加速直线运动，加速度；当小球到达点C时线恰被拉直而对球产生作用力，由图5可知BC＝L，故小球从B到C有

例3在例2中当小球恰能逆时针完成圆周运动而经过点P时，悬线突然被烧断，则此后小球经过多少时间距过P点的水平直线距离最大?小球与该水平线的交点距P多远?

分析由例2中“(3)”知小球恰能绕点P完成圆周运动时其经过点P′的速度；小球从P′点到P点的过程中有，得

小球经过点P时线断了，此时小球的速度必沿x轴，而受到的等效重力沿y轴，故小球必做类平抛运动，如图6所示，且当小球运动中的速度方向与直线PH平行时小球必距直线PH最远，对点K的速度进行分解有vKy＝vPtanα，由运动学规律有

图6

设小球从P点运动到H点的时间为t′，则有