巧用“场线法”速解电场图象问题

◇ 聂震萍 王晓平

静电场的图象问题有多种，其中较为常见的有φx图象、E-x图象、Ep-x图象、v-t图象等.利用图象不仅可以考查学生对电场基本概念、基本规律的理解，而且还可以很好地考查学生利用数学知识解决物理问题的能力，综合性较强.而大多数学生不能把相关知识有效地衔接起来，再加上场的概念又比较抽象，导致解决此类问题时会感觉比较吃力，尤其对电势高低的判定和电势能的变化无从下手.其实，除了图象的常规解法，如利用图象的直观物理意义、图线的斜率、截距、面积等，我们还可以画出一条具有代表性的辅助电场线来表示题中所给的物理情境，使抽象问题形象化、直观化，此类问题便可迅速解决.下面例析“场线法”解决问题的方法和技巧，希望对大家有所帮助.

1 知识储备

解决有关电场图象问题需要从电场的力的性质、能的性质方面做好知识上的储备，理顺二者间的关系，以便能准确利用物理知识写出表达式，为相关图象问题的解决提供知识上的保障.其关系如图1所示.

图1

2 “场线法”解决问题的要点

要点1从给定的图象中能确定场强的方向，沿场强方向画出一条电场线；

要点2由电场线的方向来判定电势的高低；

要点3结合电荷的电性来判断电势能的变化及电场力做功的特点.

3 典例分析

1)φ-x图象

对于φ-x图象，首先要明白图象本身是描述电势随位移变化的规律，根据电势的高低可以判断电场强度的方向，这样我们画出一条电场线，利用该电场线就能直观快捷地解决有关电场力做功和电势能变化的问题.同时也要注意，根据可知图象的斜率大小表示电场强度的大小.

例1两电荷量分别为q1和q2的点电荷固定在x轴上的A、B两点，两电荷连线上各点电势φ随坐标x变化的关系图象如图2，其中P点电势最高，且xAP＜xPB，则( ).

图2

A.q1和q2都是正电荷

B.q1的电荷量大于q2的电荷量

C.在A、B之间将一负点电荷沿x轴从P点左侧移到右侧，电势能先减小后增大

D.一点电荷只在电场力作用下沿x轴从P点运动到B点，加速度逐渐变小

A到P电势升高，P到B电势降低，则电场线方向为从P到A和从P到B，则q1和q2是同种电荷，一定是负电荷，故选项A错误；在P点，φ-x图线切线斜率为零，则P点的电场强度大小为零，说明q1和q2两点电荷在P点产生的场强大小相等，方向相反，由公式，且xAP＜xPB，知q1的电荷量小于q2的电荷量，故选项B错误；负电荷从P点左侧移到P点右侧，电场力先做正功，后做负功，电势能先减小后增大，故选项C正确；据φ-x图线切线斜率为场强，知从P点到B点斜率越来越大，场强越来越大，故选项D错误.答案为C.

对于选项A、C的判定，可借助“场线法”.根据图象中电势的变化可知，从A到P电势升高，从P到B电势降低，分别画出P点两侧的一条电场线，如图3所示.由图可以直观地判断出，q1和q2都是负电荷，且在A、B之间将一负点电荷沿x轴从P点左侧移到右侧，电场力先做正功后做负功，故电势能先减小后增大.

图3

需要注意的是：φ-x图象的斜率表示场强的大小，故此题可以根据图象切线的斜率分析场强的大小变化情况.

2)E-x图象

对于E-x图象，首先要明白图象本身是描述电场强度随位移变化的规律，场强E的正负表示场强的方向，这样我们就可以根据场强方向画出一条电场线，利用该电场线就能直观快捷方便地解决有关电场力做功和电势能变化的问题.

例2真空中两个点电荷Q1、Q2分别固定于x轴上x1＝0和x2＝4a两点，在它们的连线上场强E与x关系如图4所示(取x轴正方向为场强正方向，无穷远处为电势零点)，以下判断正确的是( ).

图4

A.Q1带正电、Q2带负电

B.Q1的电荷量是Q2的3倍

C.x轴上3a处的电势为零

D.正点电荷q在x轴上a处的电势能比在2a处的大

由图象可知，0～3a处场强沿正方向，Q1带正电；3a～4a处场强沿负方向，Q2带正电，故选项A错误；x轴上3a处的合场强为零，根据点电荷场强公式，可知Q1的电荷量是Q2的9倍，故选项B错误；3a处的场强为零，但是Q1带正电，Q2带正电，所以电势大于零，故选项C错误；场强从a处指向2a处，电势越来越低，所以正点电荷q在x轴上a处的电势能比在2a处的大，故选项D正确.

由于E-x图象直接反映出电场强度大小随位置变化的规律，且规定了正方向，即E＞0表示场强沿x轴正方向，E＜0表示场强沿x轴负方向，故我们可以以3a位置为分界点，分别画出其两侧的一条电场线，如图5所示.这样在处理A、C、D三个选项时就比较方便.由图可直观看出两电荷均为正电荷，正点电荷周围的电势不为零，且由于a处电势高于2a处电势，故正电荷q在a处的电势能比在2a处的大.

图5

3)Ep-x图象

对于Ep-x图象，首先要明白图象本身是描述电势能随位移变化的规律，根据电势能的变化即可判断出做功的正负.也可根据做功的情况画出一条电场线，使得处理相关问题时更加直观方便.此类图象还需注意：据W＝ΔEp＝Fx可知，该图象的斜率代表电场力.

例3在x轴上O、P两点分别放置电荷量为q1、q2的点电荷，一带正电的试探电荷在两电荷连线上的电势能Ep随x变化关系如图6所示，其中A、B两点电势能为零，BD段中C点电势能最大，则( ).

A.q1和q2都是正电荷且q1＞q2

B.BC间场强方向沿x轴负方向

C.C点的电场强度大于A点的电场强度

D.将一负点电荷从B点移到D点，电场力先做负功后做正功

图6

由图象知从O到P电势能一直减小，试探电荷带正电，电势一直降低，则两个点电荷必定是异种电荷，故选项A错误；由图象可知从B到C，电势能增加，试探电荷带正电，电势升高，根据顺着电场线电势降低可知，BC间电场强度方向沿x轴负方向，故选项B正确；根据ΔEp＝－qEx可知，图象切线的斜率可反映场强的情况，可知C点场强为零，A点的场强不等于零，则A点的场强比C点的大，故选项C错误；将一负点电荷从B移到D点，电势先升高后降低，电势能先减小后增大，电场力先做正功后做负功，故选项D错误.答案为B.

此题可根据电势能变化的特点判断出做功的情况，即由于移动的是一正试探电荷，从O移动到P过程中电势能一直减小，从P移动到D的过程中电势能先增大后减小，以此为据在P点两侧各画出一条电场线，如图7所示.这样处理A、B、D三个选项就更直观方便，由图OP之间的场线可直接看出q1和q2必是异种电荷；BC间的场强方向沿x轴负方向；将一负点电荷从B点移到D点，电场力先做正功后做负功.需要注意的是，由功能关系知ΔEp＝－qE·Δx，即，故Ep-x图线斜率的绝对值可反映电场力的大小，即可以根据图象切线的斜率分析场强的变化.

图7

4)v-t图象

对于v-t图象，首先要明白图象本身是描述速度随时间变化的规律，而v-t图象的斜率表示加速度，在只有电场力做功的过程中表示电场力，我们可根据电场力的方向结合电荷的电性画出一条电场线，由此即可直观判定电场力做功、电势的高低及电势能变化的规律.

例4如图8-甲所示，等量点电荷M、N固定于光滑绝缘水平桌面上，其连线的中垂线上有A、B、C三点.一带电荷量为＋q的小球自A点由静止释放，其运动的v-t图象如图8-乙所示，运动到B、C点的时刻分别为tB、tC，速度大小分别为vB、vC，且tB时刻图线切线斜率最大.则下列说法正确的是( ).

图8

A.A、B、C三点中，B点的电场强度最大

B.由A到C的过程中小球的电势能先减小后增大

C.由A到C的过程中，电势逐渐升高

D.B、C两点之间的电势差

速度—时间图象中斜率表示加速度，且tB时刻图象切线斜率最大，可知B点加速度最大，根据牛顿第二定律可知，该点电场强度最大，故选项A正确；由图象可知，速度逐渐增大，则动能逐渐增大，根据能量守恒定律可知，电势能逐渐减小，故选项B错误；由图象可知，斜率方向未变，即加速度方向不变，均由A指向C，则正电荷受到电场力由A指向C，所以电场方向由A指向C，由沿着电场线方向电势逐渐降低可知，由A到C的过程中电势逐渐降低，故选项C错误；对B到C过程由动能定理可得

图9

此题虽未给出两电荷的电性，但由v-t图象可知带正电的小球一直做加速运动，可以确定场强方向与运动方向同向，故可画出如图9所示的一条电场线.由图9可直观得出A到C的过程中，电势逐渐降低，且由A到C的过程中电场力一直做正功，小球的电势能一直减小.

需要注意的是v-t图的斜率可表示加速度的变化情况，即可反映电场力、场强的变化情况，故据此可判断B点的加速度最大.

链接练习

1.空间存在一静电场，一条沿x轴的电场线上的电势φ随x的变化图象如图10所示.一个质量为m、电荷量为q的带电粒子仅在电场力作用下，从坐标原点O由静止开始沿x轴做直线运动，则带电粒子的加速度a、速度v、动能Ek、电势能Ep与x的关系图象中可能正确的是( ).

图10

2.空间有一沿x轴分布的电场，其电场强度E随x变化的图象如图11所示.－x1、x1、x2、x3是x轴上的四个点，下列说法正确的是( ).

图11

A.－x1处的电势比x1处的电势高

B.将正电荷由－x1移到x2，电势能先增大，后减小

C.将一负电荷由－x1处由静止释放，若只受电场力作用，它将在－x1和x1之间往复运动

D.负电荷在4个点中的x2处的电势能最大

链接练习参考答案

1.C、D.2.B、C.