点电荷的平衡与非平衡问题的进阶学习

王云 宋万松

两个或两个以上点电荷在彼此间的静电力作用下处于平衡或非平衡状态时，点电荷可以保持静止状态也可以做变速运动，运动轨迹可以是直线也可以是曲线，求解时可以采用动态分析法、相似三角形法、整体法和隔离法等。

一、两个点电荷的平衡与非平衡

1.两个点电荷的平衡。

侧，如图1所示，两个带有同种电荷的小球，用绝缘細线悬挂于O点，若平衡时两小球到过O点的竖直线的距离相等，则两小球的质量关系为（ ）。

A.m1>m2

B.m1=m2

C.m1

D.无法确定

反思：求解共点力平衡问题时可以采用解析法和图像法，其中求解三个力的平衡问题时往往采用图像法，即构建出直角三角形利用勾股定理求解，或构建出普通三角形利用正弦定理、余弦定理或相似三角形定理求解。

2.两个点电荷的非平衡。

例2 如图3所示，粒子A带正电，粒子B带负电，两粒子仅在彼此间的库仑力作用下绕其连线上某点O做匀速圆周运动，下列说法中正确的是（ ）。

A.它们做圆周运动时的向心力大小相等

B.它们的运动轨迹半径与所带电荷量成正比

C.它们的角速度相等

D.它们的线速度与质量成正比

反思：此情景类似于双星系统，彼此间的库仑引力提供各自做圆周运动所需的向心力.两带电粒子的角速度相等，周期相等，半径和质量成反比，线速度大小和质量成反比。

二，三个点电荷的平衡与非平衡

1.三个点电荷的平衡。

例3 如图4所示，在光滑绝缘水平面上放置电荷量分别为q1、q2、q3的三个点电荷，三者位于一条直线上，已知带电荷量为q1的点电荷与带电荷量为q2的点电荷之间的距离为r1，带电荷量为q2的点电荷与带电荷量为q3的点电荷之间的距离为r2，三个点电荷仅在彼此间的库仑力作用下均处于平衡状态。

（1）若q2为正电荷，请判断q1、q3的电性。

（2）求三个点电荷所带电荷量q1、q2、q3的大小之比。

解析：（l）三个点电荷仅在彼此间的库仑力作用下均处于平衡状态，则每个点电荷受到的库仑力均为等大、反向的一对平衡力，因此当q2为正电荷时，q1和q3必为负电荷。

反思：本题中的物理模型是经典的三个点电荷的平衡模型，求解的关键是采用假设分析法确定三个点电荷的电性关系——“两同夹异”，利用平衡条件构建电荷量的大小关系——“两大夹小、近小远大”。

2.三个点电荷的非平衡。

例4 如图5所示，两个固定的带电荷量均为+q的点电荷a、b，相距为L，通过它们的连线中点O作连线的垂直平面，在此平面内恰好有一个质量为m，带电荷量为-q的点电荷c以O为圆心做匀速圆周运动，a、b、c三个点电荷构成一个等边三角形。已知静电力常量为k，点电荷c的重力不计。则点电荷c的速率为（ ）。

反思：此情景类似于三星系统，不同的是天体间的相互作用力表现为万有引力，而点电荷间的相互作用力既有引力也有斥力。求解这两类问题的关键均是分析受力情况和力的作用效果，判断研究对象是达到平衡还是处于非平衡状态，确定研究对象受到的合力为零还是提供其做圆周运动所需的向心力等。

三，四个点电荷的平衡与非平衡

1.四个点电荷的平衡。

例6 如图8所示，水平面上A、B、C三点固定着三个电荷量均为Q的正点电荷，将另一质量为m的带正电的小球（可视为点电荷）放置在O点，O、A、B、C四点恰构成一棱长为L的正四面体。已知静电力常量为k，重力加速度为g，为使小球能静止在o点，小球所带的电荷量为（ ）。

反思：本题的背景是三维立体图形，对同学们的空间想象能力要求较高。求解此类问题可以采用降维思想，用两个二维平面等效替代三维立体图形，也可以建立三维坐标系进行分析。

2.四个点电荷的非平衡。

例7 如图10所示，边长为L的等边三角形的三个顶点处有带电荷量均为Q的点电荷A、B、C，三角形的中心O点有一带电荷量为Q的点电荷，四个点电荷仅在彼此间的静电力作用下构成一个稳定的系统，A、B、C三个点电荷绕O点做匀速圆周运动，每个点电荷的质量均为m。求A、B、C三个点电荷绕O点做匀速圆周运动的周期。

反思：此情景类似于四星系统，相较于天体运动模型，求解四个点电荷仅在彼此间静电力作用下的稳定系统问题时不仅需要考虑彼此间的引力还需要考虑斥力。

例2、例5、例7中的情景都类似于天体运动中的多星系统，两者间有相似的地方——彼此间的相互作用力提供其做圆周运动所需的向心力，也有相异的地方——天体间的相互作用力表现为引力，点电荷间的相互作用力不仅有引力，还有斥力。

总结：人类思维习惯穷其所能总结简单性的基本规律，建立规范的思维体系，从众多复杂的表面现象去总结一些本质性，具有可复制的基本特性。通过上述进阶学习，同学们可以掌握求解多个点电荷的平衡与非平衡问题的关键——确定各点电荷的受力情况，明确力的作用效果是保证合力为零还是提供向心力等，采用力学解题方法完成对涉及库仑力问题的求解。

（责任编辑 张巧）